Unendlich <> Unendlich!

[gammatester]

Ich habe nicht behauptet, daß ∞ eine reelle Zahl ist oder eine rationale. Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {-∞, ∞} widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann (siehe zB Weitere Operationen mit ∞). Einige Operation sind nicht erlaubt (zB ∞-∞), wie auch auf R einige Operationen nicht erlaubt sind (zB a/0 oder (-1)^(1/2)).

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {∞ , ∞ } widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann

Man kann die Menge erweitern, aber wenn du von Operationserweiterungen sprichst, betrifft das den Körper über R. Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

(Hint: Dein Wikipedia-Artikel sagt dir schon: ∞ - ∞ = undefiniert; Somit wirst du bzgl der Addition kein inverses Element finden. Auch bei der Multiplikation wirst du dich schwer tun. Deine vorgeschlagene Erweiterung macht also wenig Sinn )

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat von JasonDX:

Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

Ist mir neu, daß (R,*) eine abelsche Gruppe ist. Wie lautet denn das (multiplikative) Inverse von 0?

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

Ist mir neu, daß (R,*) eine abelsche Gruppe ist. Wie lautet denn das (multiplikative) Inverse von 0?

Richtig, mein Fehler. (R\{0},*) ist eine abelsche Gruppe, 0 ist das absorbierende Element in R. Man könnte jetzt weitergehen und sagen, dass dann ∞ entsprechend das absorbierende Element in R#\{0} ist und die Gruppe als (R\{0,∞},*) beschreiben, womits aber schön kompliziert wird. Gut, lassen wir uns davon nicht abhalten, zurück zur Addition und (R#,+): Was ist das inverse Element von ∞?
Weitere Frage: gilt a <= ∞ für alle a in R#?

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat von JasonDX:

Weitere Frage: gilt a <= ∞ für alle a in R#?

Ja, siehe unten. Trotzdem wird die Diskussion doch langsam langweilig. Ich fasse zusammen: In R und R# sind eine Operationen nicht definiert. Man kann widerspruchsfrei mit +-INF rechnen. Die Regeln sind u.a. folgende: Für alle x aus R, alle y>0 aus R gilt

Code:

 -INF < x < INF
 x + INF = INF
 x - INF = -INF
 y/0 = INF
 (-y)/0 = -INF
 y/INF = 0
 y*INF = INF
 y*(-INF) = -INF
 (-y)*INF = -INF
 (-y)*-INF) = INF
 INF*INF = INF,  (-INF)*INF = -INF  usw.
 INF+INF = INF, -INF - INF = -INF

Außerdem sind * und + (falls alle auftretende Terme definiert sind) kommutativ, assoziativ. Es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.

a <= INF gilt für alle a aus R#, weil x < INF, -INF < INF und INF = INF.

[Namenloser]

Was ist (-∞)^∞?

[BUG]

Zitat von NamenLozer:

Was ist (-∞)^∞?

Nicht definiert?

Wenn gammatester behauptet, das die genannten Regeln widerspruchsfrei sind, kann man das prüfen (bzw. beweisen/widerlegen), ABER man kann dafür nicht einfach einfach auf das zurückgreifen, was wir über R wissen.

Bis jetzt hat noch niemand gefordert (ist vielleicht auch nicht zu empfehlen ), dass (R#,+,*) ein Körper oder Ring sein soll, noch dafür irgendwelche anderen tolle Regeln gelten sollen (zB. a^b mit a, b € R# ist definiert als ...).