Unendlich <> Unendlich!

[gammatester]

Ich habe nicht behauptet, daß ∞ eine reelle Zahl ist oder eine rationale. Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {-∞, ∞} widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann (siehe zB Weitere Operationen mit ∞). Einige Operation sind nicht erlaubt (zB ∞-∞), wie auch auf R einige Operationen nicht erlaubt sind (zB a/0 oder (-1)^(1/2)).

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {∞ , ∞ } widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann

Man kann die Menge erweitern, aber wenn du von Operationserweiterungen sprichst, betrifft das den Körper über R. Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

(Hint: Dein Wikipedia-Artikel sagt dir schon: ∞ - ∞ = undefiniert; Somit wirst du bzgl der Addition kein inverses Element finden. Auch bei der Multiplikation wirst du dich schwer tun. Deine vorgeschlagene Erweiterung macht also wenig Sinn )

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat von JasonDX:

Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

Ist mir neu, daß (R,*) eine abelsche Gruppe ist. Wie lautet denn das (multiplikative) Inverse von 0?

[alzaimar]

Zitat von Alfi001:

Zitat von alzaimar:

Die Kugel ist greifbar, das Unendliche ihrer Oberfläche (im o.g. Kontext) für mich zumindest auch BE-greifbar.

Die Oberfläche einer Kugel ist nicht unendlich! Sie ist unbegrenzt aber endlich!

Was meine ich wohl mit "im o.g. Kontext", wenn ich einen Absatz darüber gedanklich unendlich lange über eine Kugel laufe?

[Mithrandir]

Zitat von sx2008:

Ein unendlich dünne Linie hätte aber die Fläche 0.

Wie kommst du darauf? Wenn, dann geht die Fläche gegen 0, sie ist aber niemals 0. Denn dann gäbe es sie ja nicht.

[Neutral General]

Zitat von Mithrandir:

Zitat von sx2008:

Ein unendlich dünne Linie hätte aber die Fläche 0.

Wie kommst du darauf? Wenn, dann geht die Fläche gegen 0, sie ist aber niemals 0. Denn dann gäbe es sie ja nicht.

Sind Linien mathematisch gesehen nicht eh 1-dimensional und besitzen von daher eh keine Fläche?

[Mithrandir]

Verdammt!

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

Ist mir neu, daß (R,*) eine abelsche Gruppe ist. Wie lautet denn das (multiplikative) Inverse von 0?

Richtig, mein Fehler. (R\{0},*) ist eine abelsche Gruppe, 0 ist das absorbierende Element in R. Man könnte jetzt weitergehen und sagen, dass dann ∞ entsprechend das absorbierende Element in R#\{0} ist und die Gruppe als (R\{0,∞},*) beschreiben, womits aber schön kompliziert wird. Gut, lassen wir uns davon nicht abhalten, zurück zur Addition und (R#,+): Was ist das inverse Element von ∞?
Weitere Frage: gilt a <= ∞ für alle a in R#?

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat von JasonDX:

Weitere Frage: gilt a <= ∞ für alle a in R#?

Ja, siehe unten. Trotzdem wird die Diskussion doch langsam langweilig. Ich fasse zusammen: In R und R# sind eine Operationen nicht definiert. Man kann widerspruchsfrei mit +-INF rechnen. Die Regeln sind u.a. folgende: Für alle x aus R, alle y>0 aus R gilt

Code:

 -INF < x < INF
 x + INF = INF
 x - INF = -INF
 y/0 = INF
 (-y)/0 = -INF
 y/INF = 0
 y*INF = INF
 y*(-INF) = -INF
 (-y)*INF = -INF
 (-y)*-INF) = INF
 INF*INF = INF,  (-INF)*INF = -INF  usw.
 INF+INF = INF, -INF - INF = -INF

Außerdem sind * und + (falls alle auftretende Terme definiert sind) kommutativ, assoziativ. Es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.

a <= INF gilt für alle a aus R#, weil x < INF, -INF < INF und INF = INF.

[Namenloser]

Was ist (-∞)^∞?