Unendlich <> Unendlich!

[Win32.API]

Unendlich ist keine Zahl, es ist eine Beschreibung.

2*∞ = ∞ + ∞ = ∞
2*∞ = ∞
2 = 1 !

[Medium]

Diese Schreibweise ist extrem gefährlich!

∞ = ∞ muss man prinzipiell immer verneinen, wenn nicht bekannt ist WIE die Unendlichkeit zustande kam! ∞-∞ ist auch nicht zwangsweise =0, so wie auch ∞/∞ nicht zwangsweise =1 ist.
(FPUs liefern beim Vergleich zweier "Unendlich" typischerweise auch "false".)

Wie im Posting von JasonDX schon ganz gut erkennbar ist, ist es kompliziert dafür eine Anschauliche Metapher zu finden - das liegt aber darin begründet, dass der Mensch grundsätzlich nicht dazu in der Lage ist sich ein Verständnis von "Unendlichkeit" anzueigenen. (Sehr sehr SEHR viel/groß/weit taugt einfach nicht ) Dieses Konzept übersteigt unseren Horizont was die Bildlichkeit angeht, aber dennoch ist man in der Lage den Begriff in Regeln und Gesetzmäßigkeiten zu fassen.
Aber jeglicher Versuch einer anschaulichen Darstellung ist zum Scheitern verurteilt. Hilberts Hotel ist da schon extrem gut gelungen.

[alzaimar]

Unendlich ist für mich z.B., auf einer Kugel spazieren zu gehen, bis man nicht mehr weiter kommt.

Die Kugel ist greifbar, das Unendliche ihrer Oberfläche (im o.g. Kontext) für mich zumindest auch BE-greifbar.

Wenn ich das mit den Linien auf meine Kugel anwende, dann nehme ich mir also eine Kugel, stell mich drauf, packe mir einen Stift in den A*** und laufe los. Der Stift zeichnet eine unendlich dünne Linie auf die Kugel und wenn ich die Kugel ausgemalt habe, dann bin ich fertig. (Allein das dauert schon, wegen der Unendlichkeit, ein Weilchen).

Nun puste ich die Kugel auf. Sind Lücken vorhanden? Nö.

Wieso soll man sich daran den Kopf zerbrechen? Schließlich habe ich eine unendlich lange Linie gezeichnet.

Der Fehler bei dem Paradoxon ist übrigens in meinen Augen der, das man annimmt, das man abzählbar unendlich viele Linien in so einem Kreis hat.
Das stimmt natürlich nicht, man hat unabzählbar viele Linien.

Da kann ich mir dann ein Segment ausschneiden und dehnen, es bleiben unendlich viele Linien. Und unendlich viele Linien sind ja nach Definition des Gedankenexperimentes flächenfüllend.

Wo ist also das Problem?

[JasonDX]

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist. Genau deshalb wurde auch das Konzept der Kardinalzahlen eingeführt. Diese erlauben - mit signifikanten Unterschieden zu den uns üblichen Zahlen - ein Rechnen mit "Unendlichkeiten".
Das Problem jetzt hier bei der Dokumentation und dem eingeführten Beispiel liegt IMO dabei, dass etwas mathematisches zu sehr vereinfacht wird:

Zitat von Aphton:

Code:

Man nehme ein Kreis, fülle es mit unendlich vielen, unendlich dünnen Linien startend beim Zentrum mit der Länge vom Radius. Folglich kann man sehen, dass es keine Lücke zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien gibt.

Wenn die Linien am Radius r dicht aneinanderliegen - wie siehts dann bei r/2 aus? Liegen die Linien dann dort aufeinander?
Betrachten wir 2 Linien. Es lässt sich leicht zeigen: Wenn die 2 Linien nicht gleich sind, so gibt es unendlich viele Linien dazwischen. Folglich: 2 Linien sind entweder gleich, oder nicht benachbart (d.h. es gibt noch min. 1 Linie dazwischen). Wenn man nun die Linien verlängert, zwischen welchen Linien will man einen Abstand bemerken? Wenn die Linien gleich sind, gibt es keinen Abstand. Vergleicht man 2 unterschiedliche Linien, so sind sie nicht benachbart, d.h. man kann auch nicht sagen dass die Linien nicht dicht aneinanderliegen - denn dafür müsste eine Lücke zwischen zwei benachbarten Linien existieren.

Btw: Die Doku ist zwar sehr interessant gemacht, aber ich würde mich auf die Korrektheit des wissenschaftlichen Inhalts nicht verlassen. (Auch nicht in den späteren Teilen )

greetz
Mike

[Ralf Kaiser]

Zitat von alzaimar:

Unendlich ist für mich z.B., auf einer Kugel spazieren zu gehen, bis man nicht mehr weiter kommt.

Die Kugel ist greifbar, das Unendliche ihrer Oberfläche (im o.g. Kontext) für mich zumindest auch BE-greifbar.

Die Oberfläche einer Kugel ist nicht unendlich! Sie ist unbegrenzt aber endlich!

[gammatester]

Zitat von JasonDX:

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation, und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht:

1/2 ist keine Zahl, -1 ist keine Zahl, i=sqrt(-1) ist keine Zahl, ∞ ist keine Zahl usw. Auch hier sind manche Operation in der alten, nicht erweiterten Menge nicht möglich.

Selbst unsere FPUs kennen unendlich (geanuer sogar zwei mit Vorzeichen) und können damit rechnen, zB 1/0 = ∞, (-1/0) = ∞ etc. Und anders als

Zitat von Medium:

(FPUs liefern beim Vergleich zweier "Unendlich" typischerweise auch "false".)

behauptet liefern sie auch das richtige Ergebnis: ∞=∞ und (-∞)=(-∞) (vielleicht er aber auch ∞ mit -∞ verglichen).

[jfheins]

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation, und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht:

1/2 ist keine Zahl, -1 ist keine Zahl, i=sqrt(-1) ist keine Zahl, ∞ ist keine Zahl usw. Auch hier sind manche Operation in der alten, nicht erweiterten Menge nicht möglich.

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Auch ein "Integral von -∞ bis +∞ f(x) dx" meint eigentlich: "Limes z->∞ von Integral von -z bis +z f(x) dx"

[gammatester]

Zitat von jfheins:

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Widersprüche? Was für Widersprüche? Und weshalb ist folgende Argumentation prinzipiell anders?

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation

Nein. Ich stelle eine Behauptung auf: ∞ ist kein Element einer Menge eines Körpers, auf den die von mir oben genannten Operationen und Eigenschaften definiert sind; Und verwende diese Behauptung um zu begründen, warum die von Win32.Api verwendeten Rechengesetze auf ∞ nicht anwendbar sind. Das ist ein sequentielles Argument.
Du darfst meiner Annahme aber gerne widersprechen und einen Körper geben, dessen Menge die Mächtigkeiten der natürlichen und reellen Zahlen enthält

Zitat von gammatester:

und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht

Keineswegs. Man muss aber auch nicht für jede widersprüchliche und sinnfreie Erweiterung offen sein. Es macht bspw. absolut keinen Sinn, die natürlichen Zahlen um ∞ zu erweitern - damit wäre PA inkonsistent, was das ganze von jeglichem Sinn befreit.
Und es gibt ja eine (sinnvolle) Erweiterung, welche die Mächtigkeiten von unendlichen Mengen umfasst, und das sind die Kardinalzahlen.

Zitat von gammatester:

Selbst unsere FPUs kennen unendlich (geanuer sogar zwei mit Vorzeichen) und können damit rechnen

Wenn du eine FPU als Argument hernehmen willst, kann ich damit auch behaupten, dass es nur endlich viele Zahlen gibt, 1=0.999838467287, und bspw. Grahams Zahl ist eine ungültige Illusion. Wir sprechen hier von theoretischen Konzepten und berufen uns auf Definitionen, nicht mehr und nicht weniger.

Zitat von gammatester:

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

Hm, hier sieht man warum man sich an theoretische Definitionen halten sollte. Es gibt kein Inverses Element von 0 bzgl. der Multiplikation. Der Körper über die rationalen/reellen Zahlen ist entsprechend definiert. Trotzdem gehst du von der Existenz eines solchen aus und "beweist" damit einen Widerspruch. Entsprechend zu PBC hast du damit lediglich bewiesen, dass deine Annahme (nämlich dass es ein Inverses Element für 0 bzgl. der Multiplikation gebe) falsch ist - was wir schon vorher wussten

greetz
Mike

[Neutral General]

Zitat von gammatester:

Zitat von jfheins:

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Widersprüche? Was für Widersprüche? Und weshalb ist folgende Argumentation prinzipiell anders?

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

Nein. 0=0 und eine Division durch 0 ist nicht möglich. Man kommt also überhaupt nicht auf 4=3.