Unendlich <> Unendlich!

[Aphton]

Hallo liebe Delphi Gemenischaft.
Ich habe mir vor kurzem "BBC - Dangerous Knowledge" angesehen, in der ein Paradoxon beschrieben wird, der Mathematiker in den Wahnsinn getrieben hat:

Code:

Man nehme ein Kreis, fülle es mit unendlich vielen, unendlich dünnen Linien startend beim Zentrum mit der Länge vom Radius. Folglich kann man sehen, dass es keine Lücke zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien gibt. Alle diese Linien summiert bilden die Fläche des Kreises (Integration!).

So, wenn man nun einen kozentrischen Kreis mit einem größeren Radius drauflegt und die [b]unendlich vielen[/b], unendlich dünnen Linien vom ersten Kreis streckt und zwar zu den unendlich vielen Enden des zweiten Kreises, so sieht man, dass es zwischen zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien eine Lücke vorhanden ist!

Nun die konkrete, für mich schwer formulierbare Frage: Heißt das, dass es mehrere Ebenen von der Unendlichkeit gibt bzw. die "Zahl" Unendlich nicht direkt unendlich ist, sondern von bestimmten Faktoren (beispielsweise Radius & Flächeninhalt vom Kreis) abhängig ist?

Was sind eure Gedanken dazu?

MfG

[Gausi]

Ja, es gibt verschiedene Stufen der "Unendlichkeit". Das Beispiel mit dem Kreis leuchtet mir jetzt allerdings nicht direkt ein.

Es gibt aber die Begriffe "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich". "Abzählbar undendliche" Mengen sind zwar unendlich groß, man kann sie aber durchzählen (z.B. die natürlichen Zahlen, oder auch die Menge aller Brüche). Bei überabzählbaren Mengen geht das nicht (z.B. bei den reellen Zahlen).

[BUG]

Zwei (evtl. unendliche) Mengen sind gleich groß/mächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt.

Zum Beispiel ist die Menge N der natürlichen Zahlen unendlich. Man kann zB. zeigen, dass die Menge der 2-Tupel der natürlichen Zahlen NxN gleichgroß ist, ebenso bei den ganzen Zahlen Z und so weiter ...

Andererseits gibt es keine bijektive Abbildung zwischen reellen Zahlen R und N.


Ist also alles bloß Definitionsfrage

Hilberts Hotel sollte dir auch gefallen.

[mleyen]

Zitat von Aphton:

Code:

zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien

Genau da ist der Fehler. Es gibt keine 'aufeinanderfolgenden Linien'.
Genau so wenig wie 2 'Unendlichkeitsformen'. Er gesellt sich einfach in die endliche Genauigkeit.

[sx2008]

Zitat von Aphton:

Alle diese Linien summiert bilden die Fläche des Kreises (Integration!).

Ein unendlich dünne Linie hätte aber die Fläche 0.
Man kann die Fläche eines Kreises mit Dreiecken annähern, indem man mit einem 6-Eck beginnt.
Ein 6-Eck besteht aus 6 Dreiecken, deren Fläche man leicht ausrechnen kann.
Dann verdoppelt man die Eckenzahl (12-Eck, ...) bis man zum Schluss den Übergang zu unendlich vielen Ecken macht.
Wenn man mit unendlich dünnen Linien beginnt, kann das nur zum Wahnsinn führen.

Aber zu deiner Frage ob Unendlich <> Unendlich ist:
Ja, das könnte man so sagen.
Zum Beispiel die Funktion f(x) = x/x, wenn x immer grösser bleibt der Wert trotzdem bei x/x = 1.
Bei f(x) = (2*x)/(x+50) ist sicher, dass für sehr grosse x-Werte als Ergebnis nur der Wert 2 rauskommen kann.
Man nennt das Grenzwertbildung und das mathmatische Symbol dazu ist der "Limes".
Man kann bei der Grenzwertbildung aber nicht mit einem unendlichen Wert beginnen, sondern der Schritt zur Unendlichkeit muss immer am Schluss stehen.
Ansonsten droht Wahnsinn.

[Phoenix]

Die Kreislinie hat einen endlichen Umfang, auf diesem kann man aber unendlich viele Randpunkte unterbringen. In dem Fall würde vom Zentrum des Kreises zu jedem einzelnen dieser Kreispunkte eine Linie gehen. Somit wäre der Kreis gefüllt und wir haben genauso viele Linien, wie Punkte auf dem Kreisumfang.

Man kann freilich *immer* hergehen, und zwischen zwei Randpunkten einen weiteren Randpunkt einfügen, aber für einen Kreis mit dem Radius R1 nehmen wir mal eine Momentaufnahme mit einer fixen unendlich großen Anzahl von Kreispunkten.

Wenn wir den Kreis jetzt auf R2 vergrößern, wird die Kreislinie länger. Die Anzahl der Punkte ist aber durch die Momentaufnahme begrenzt. Das heisst, der Abstand der einzelnen Kreispunkte (und damit der Linen am Rand) wird größer. Es entstehen die Lücken.

Das man auf einer endlichen Strecke unendlich viele Punkte unterbringen kann, ist klar (man kann immer einen Punkt zwischen zwei bestehenden einfügen. Bei gleichem Abstand der Punkte bekommt man auf einer längeren Strecke aber eben auch mehr Punkte unter als auf einer kürzeren. Es sind aber jedes mal unendlich viele

[Matze]

Zitat von Phoenix:

Wenn wir den Kreis jetzt auf R2 vergrößern, wird die Kreislinie länger. Die Anzahl der Punkte ist aber durch die Momentaufnahme begrenzt. Das heisst, der Abstand der einzelnen Kreispunkte (und damit der Linen am Rand) wird größer. Es entstehen die Lücken.

(die im kleinen Kreis aber auch vorhanden waren )

[Aphton]

Zitat von Phoenix:

Das man auf einer endlichen Strecke unendlich viele Punkte unterbringen kann, ist klar (man kann immer einen Punkt zwischen zwei bestehenden einfügen. Bei gleichem Abstand der Punkte bekommt man auf einer längeren Strecke aber eben auch mehr Punkte unter als auf einer kürzeren. Es sind aber jedes mal unendlich viele

Interessant!

[jfheins]

Zitat von Aphton:

Hallo liebe Delphi Gemenischaft.
Ich habe mir vor kurzem "BBC - Dangerous Knowledge" angesehen, in der ein Paradoxon beschrieben wird, der Mathematiker in den Wahnsinn getrieben hat:

Nun die konkrete, für mich schwer formulierbare Frage: Heißt das, dass es mehrere Ebenen von der Unendlichkeit gibt bzw. die "Zahl" Unendlich nicht direkt unendlich ist, sondern von bestimmten Faktoren (beispielsweise Radius & Flächeninhalt vom Kreis) abhängig ist?

Was sind eure Gedanken dazu?
MfG

Mein Gedanke: Du kannst den Kreis nicht mit Linien ausfüllen. linien sind 1 dimensional, die Fläche ist 2 dimensional. Es wird immer Lücken geben! Und (jetzt wirds cool ^^) diese Lücken kann man sogar bestimmen und wenn man alle zusammenzählt kommt man auf die Fläche des Kreises! (schließlich ist die Linie 1D und zwackt keine Fläche ab)

Es gibt übrigens noch einen Denkfehler: Die angesprochene Integration geht (aus gutem Grund) nicht von Linien aus, sondern von Kreissegmenten. Wenn man nämlich die Fläche eines Kreises bestimmen wollte mit einem Integral muss man schreiben:

int 1*r dr dphi, r=0..1, phi=0..2Pi

Man beachte das r ganz innen. Das ergibt sich aus dem Übergang zu Polarkoordinaten.

[JasonDX]

Zitat von Aphton:

Nun die konkrete, für mich schwer formulierbare Frage: Heißt das, dass es mehrere Ebenen von der Unendlichkeit gibt bzw. die "Zahl" Unendlich nicht direkt unendlich ist, sondern von bestimmten Faktoren (beispielsweise Radius & Flächeninhalt vom Kreis) abhängig ist?

Im Prinzip ist das eine generelle Fragestellung der Kontinuitätshypothese. Diese behauptet folgendes:
Es gibt eine Menge P, sodass |N| < |P| < |R|, wobei |K| die Mächtigkeit der Menge K beschreibt.

Wir wissen lediglich, dass |N| = |Z| = |Q| < |R| (Cantors Diagonalisierungsargument), sowie dass - in den wichtigsten Axiomensystemen, nämlich PA und ZFC - diese Aussage weder beweisbar, noch widerlegbar ist (Bewiesen von Kurt Gödel und Paul Cohen).
Die Frage ist eines der berühmtesten Beispiele für unentscheidbare Sätze, deren Existenz (unter hoffentich wahren Umständen) von Gödel in seinem 1. Unvollständigkeitssatz bewiesen wurde. Dieser hatte auch vorgeschlagen, ZFC durch Axiome, welche Kardinalzahlen aufgreifen, zu erweitern. Damit könnte CH bzw. GCH, und somit auch deine Frage entschieden werden.

Folglich: Wir kennen bisher 2 Varianten von "unendlich": Abzählbar unendlich (|N|), und überabzählbar unendlich (|R|). Obs mehr davon gibt oder nicht, ist mit den bisherigen Regeln der Mathematik nicht zu beantworten.

greetz
Mike