[Tutorial] Quadratische Gleichungen vollständig lösen

[Wolfgang Mix]

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form

y = a*x^2 + b*x +c (1)

Die Lösung(en) findet man bei y = 0

a*x^2 + b*x + c = 0 (2)

Teilt man (2) durch a, erhält man die Normalform einer quadratischen Gleichung:

x^2 + p*x + q = 0 (3), wobei p = b/a und q = c/a

Die Lösung(en) erhält man mit der Formel:

x1,2 = -p/2 +- sqrt(sqr(p/2)-q))

4 Möglichkeiten sind zu beachten:

1.) Wenn a = 0 ist, liegt keine quadratische Gleichung vor.
2.) Wenn der Radikand sqr(p/2)-q Null ist, gibt es nur eine reelle Lösung.
3.) Wenn der Radikand positiv ist, gibt es 2 reelle Lösungen
4.) Wenn der Radikand negativ ist, gibt es 2 komplexe Lösungen

Anmerkung zu (4): sqrt(-1) ist die imaginäre Zahl i

Delphi-Quellcode:

procedure TForm2.Button1Click(Sender: TObject);
var a,b,c,Radikand,wurzel,p,q,x1,x2,im,re:real;
begin
  a:=StrToInt(Edit1.Text);
  b:=StrToInt(Edit2.Text);
  c:=StrToInt(Edit3.Text);
  if a=0 then showmessage('Keine quadratische Gleichung');
  try
    p:=b/a;q:=c/a;
  except
     on E : Exception do
     begin
       ShowMessage('Exception class name = '+E.ClassName);
       ShowMessage('Exception message = '+E.Message);
     end;
  end;

  Radikand:=sqr(p/2)-q;

  If Radikand=0 then
  begin
     x1:=-p/2;
     Edit4.Text:= 'x = ' + FloatToStr(-p/2);
     Edit5.Text:='';
     Label6.Caption:='Nur eine Lösung!';
  end;

  If Radikand>0 then
  begin
     x1:=-p/2+sqrt(Radikand);
     x2:=-p/2-sqrt(Radikand);
     Edit4.Text:='x1 = ' + FloatToStr(x1);
     Edit5.Text:='x2 = ' + FloatToStr(x2);
     Label6.Caption:='2 relle Lösungen!';
  end;

  If Radikand<0 then
  begin
      Radikand:=-Radikand;
      re:=-p/2;
      im:=sqrt(Radikand);
      Edit4.Text:=FloatToStr(re) + ' + '+ FloatToStr(im) + ' i';
      Edit5.Text:=FloatToStr(re) + ' - '+ FloatToStr(im) + ' i';
      Label6.Caption:='2 komplexe Lösungen!';
  end;
end;

[edit=TBx]Das Thema dient inzwischen mehr der Erstellung eines Turorials. Wenn ein solches fertig gestellt ist, wird das Thema entsprechend verschoben, Einzug in die CL wird es sicherlich nicht finden. Dafür habe wir dann ja die Tutorial-Sparte. Mfg, TBx[/edit]

[fwsp]

Zitat:

Zitat von Wolfgang Mix

Delphi-Quellcode:

If Radikand=0 then

die stelle könnte kritisch sein, denn so ein real lässt sich nicht gern mit einem festen wert vergleichen.
eine möglichkeit um das zu umgehen: einen gewisse abweichung mit einzuberechnen.

//edit
artikel von luckie dazu: http://www.michael-puff.de/Artikel/Fliesskomma.shtml

[xZise]

Muss Radikand = 0 problematisch sein? Ich würde behaupten die 0 lässt sich doch darstellen?

MfG
xZise

[fwsp]

Zitat:

Zitat von xZise

Ich würde behaupten die 0 lässt sich doch darstellen?

und der andre teil?

[Wolfgang Mix]

Wie wär's denn damit:

If (Radikand < 1e99) or (Radikand >1e-99) then

[Die Muhkuh]

Oder Math.IsZero ;)

[stoxx]

ich finde dieses Beispiel als Lehrbeispiel sehr, sehr, sehhr ungeeignet, weil direkt mit den Editfeldern in den Berechnungen gearbeitet wird.
Besser wäre es, die Ausgabe immer von den Berechnungen zu trennen.
Erst Modul Eingabe, dann alle Werte zur Berechnung .. dann wieder zurück und dann Ausgabe. ..

Daten von der Visualiserung trennen

[Jakob Ullmann]

Also die Lösungsformel liest sich so (in Textform) sehr bescheiden. Ich würde vorschlagen, dafür ein Bild einzufügen (z. B. von der Wikipedia, oder von einem LaTeX-Onlineservice, oder halt vom eigenen Webscape). Desweiteren ist es wohl angenehmer, die Formel entsprechend für die allgemeine Form anzupassen. Klar ist so die Herleitung schöner, aber anwenden lässt es sich so nicht so schön.

@stoxx: Prinzipiell hast du da ja recht, aber wegen einer quadratischen Gleichung eine neue Unit aufzumachen, ist vielleicht etwas übertrieben. Klar, wenn da noch mehr dazukäme, wäre es sinnvoll.

[stoxx]

Zitat:

Zitat von Jakob Ullmann

@stoxx: Prinzipiell hast du da ja recht, aber wegen einer quadratischen Gleichung eine neue Unit aufzumachen, ist vielleicht etwas übertrieben. Klar, wenn da noch mehr dazukäme, wäre es sinnvoll.

ich meinte keine neue Unit, sondern eine ausgelagerte Funktion reicht vollkommen, die als Rückgabewert einen Array of "Lösungen" hat.
gibt ja manchmal eine, zwei oder keine Reelle Lösung ..

und es geht auch darum, sich sowas erst gar nicht anzugewöhnen, wie der Threadersteller es getan hat.
Übung und Gewohnheit.

[Aphton]

Zitat:

Zitat von stoxx

ich meinte keine neue Unit, sondern eine ausgelagerte Funktion reicht vollkommen, ...

Wenn wir schon dabei sind

Delphi-Quellcode:

type
  TDoubleArr = Array of Double;

function SolveQuadraticEquation( A, B, C: Double ): TDoubleArr;
var
  d: Double; // diskriminante (das was unter SQRT steht)
begin
//  ax² + bx + c = 0
  if A = 0 then
    Exit;
  B := B / A;
  C := C / A;
//  Diskriminante berechnen
  d := SQR(B/2) - C;
  if d > 0 then
  begin // zwei Lösungen
    SetLength( Result, 2 );
    Result[0] := -B/2 + SQRT( d );
    Result[1] := -B/2 - SQRT( d );
  end else
  if d = 0 then
  begin  // eine Lösung
    SetLength( Result, 1 );
    Result[0] := -B/2;
  end;
// else -> keine Reelle Lösung
end;