Komplexe Zahlen: Potenzen

[Green]

So. Ich habe ein Programm geschrieben (oder bin eher dabei) in dem viel mit komplexen zahlen gerechnet wird.
Jetzt ist folgendes Problem: ich möchte eine bestimmte zahl (kopmplex) hoch eine andere nehmen.

Also praktisch A(Ar, Ai)^B(Br, Bi).

Die variablen Ar, Ai, Br, Bi liegen als doubles vor.

Was machen? hab mir viel durchelgesen (gegooglet, wikipedia etc.) und ganz viele tole formeln zum protenzieren von Complexen Zahlen gefunden, aber irgendwie bin ich aus dem Zeug nicht schlauer geworden..

was jetzt?

lG Green

[jbaertle]

Hallo Green,

also falls Du Dein Problem der Potenz komplexer Zahlen selber programmieren musst/möchtest, bringt Dich mein Hinweis vielleicht weiter (um etwas rechnen/programmieren kommst Du leider nicht rum).

Erste Zahl: A = R*e^(i*f)
Zweite Zahl: B = (C+i*D)

Dann gilt für E = A^B = R^B * (e^(i*f))^B = R^B * e^(i*f*B)

Der Term mit der Exponentialfunktion ist kein Problem, einfach ausmultiplizieren und den Term e^(i...) in den cos. bzw. sin-Teil trennen.
Der Term R^B = R^C * R^(i*D) macht mit R^(i*D) noch etwas Aufwand, aber es gilt: R^(i*D) = (e^(ln(R)))^(i*D) = e^(ln(R)*i*D) = e^(i*D*ln(R)) = cos (D*ln(R)) + i*sin ...

Hoffe, das hilft Dir.
Ach ja, ich wüsste jetzt nicht, wo ich eine solche Potenz brauchen kann, aber Mathe ist ja auch einfach so schön...

Schönen Abend noch, Jani.

[Kroko1999]

Hier steht doch die gleiche Formel, wo ist dein Problem :?:

[Nikolas]

Was für ein Programm schreibst du denn, in dem komplexe Zahlen potenziert werden müssen?

[Medium]

Das ganze lässt sich ein wenig aufdröseln. Der Ansatz lautet im Reellen wie im Komplexen: a^b = exp(b*ln(a))

Du brauchst also nur noch die komplexen Varianten der Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus, und kannst dann sehr elegant 2 komplexe Argumente miteinander Potenzieren.

Exp(C):

Delphi-Quellcode:

function expC(const C : TComplex) : TComplex;
var
  sn, cs : extended;
  t      : double;
begin
  sincos(C.i, sn, cs);
  t := exp(C.r);
  result.r := t * cs;
  result.i := t * sn;
end;

Ln(C):

Delphi-Quellcode:

function lnC(const C : TComplex) : TComplex;
begin
  result.r := ln(sqrt(sqr(C.r)+sqr(C.i)));
  result.i := argC(C).r;
end;

Wobei du hier noch argC() brauchst:

Delphi-Quellcode:

function argC(const C : TComplex): double;
var
  temp : double;
begin
  result := 0;
  temp   := 0;
  if (C.r = 0) and (C.i = 0) then Exit;

  if C.i <> 0 then
  begin
    result := pi / 2 * Sign(C.i);
    Exit;
  end
  else
  begin
    if C.r > 0 then
    begin
      result := 0;
      Exit;
    end
    else
    begin
      result := pi;
      Exit;
    end;
  end;

  if C.r <> 0 then
    temp := ArcTan(Abs(C.i / C.r));

  if C.r > 0 then
  begin
    if C.i > 0 then
    begin
      result :=  temp;
      Exit;
    end
    else
    begin
      result := -temp;
      Exit;
    end;
  end
  else
  begin
    if C.i > 0 then
    begin
      result := pi - temp;
      Exit;
    end
    else
    begin
      result := temp - pi;
      Exit;
    end;
  end;
end;

Schaut erstmal wild aus, funktioniert aber auch.