2 Integerwerte in einem Integerwert reversibel speichern?

[3_of_8]

Bist du dir da sicher? Also ich bin mir ziemlich sicher, dass die Menge der Primzahlen und die Menge der ganzen Zahlen/natürlichen Zahlen die gleiche Kardinalität besitzen. Ich habe das ja oben sogar bewiesen, indem ich eine bijektive Abbildung angegeben habe. (Die Beweisführung ist ähnlich wie beim Cantor'schen Diagonalverfahren)

[Der_Unwissende]

Zitat von 3_of_8:

Die Beweisführung ist ähnlich wie beim Cantor'schen Diagonalverfahren

Das wäre auch der Hauptgrund, warum ich sagen würde dass Hagens Argumentation falsch ist. Ich meine das die Kardinalität der Natürlichen Zahlen gleich der Kardinalität der Ganzen Zahlen ist würde doch auch schon mehr als unendlich viele Zahlen benötigen, denn es gibt zwei Bedingungen, die für jede Natürliche Zahl (> 0) erfüllt sind:

1. Jede Natürliche Zahl hat einen Nachfolger
2. Zu jeder Natürlichen Zahl n gibt es zwei Ganze Zahlen, die den gleichen Betrag wie n haben

Ích denke der Fehler in der Argumentation besteht in dem Übergang aus einer endlichen Menge in eine unendliche Menge. Nimmst Du eine beliebige, endliche Teilmenge der Natürlichen Zahlen, so lässt sich eine gleichmächtige Menge von aufsteigenden Primzahlen finden (was möglich ist, da beide Mengen unendlich viele Elemente besitzen). Damit ist eine Bijektion möglich (eine besser/genauere Argumentation kam ja schon von Manuel).

[Phoenix]

Wir wollen einer Zahl n die n-te Primzahl zuordnen.

Nehmen wir den Satz von Euklid her: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Dann können wir in einer unendlichen Menge von Zahlen jeder einzelnen Zahl eine eindeutige Primzahl (derer es ja auch unendlich gibt) zuordnen.

Befinden wir uns in einem Zahlenraum der unendlich groß ist, dann liegt die zu einem beliebigen n gehörige n-te Primzahl bei sehr großen n zwar ein umso mehr verdammt großes Stückchen 'weiter hinten' im unendlichen Zahlenraum, aber sie liegt trotzdem immer drin.

Interessanterweise hat diese verdammt große Primzahl (da sie in unserem Zahlenraum liegt) wieder eine ihr zugeordenete Primzahl, die halt noch viel größer ist.

Hagen hat schon recht: Betrachten wir einen begrenzten Zahlenraum, dann benötigen wir genauso viele (nicht mehr!) Primzahlen wie normale Zahlen in unserem Raum sind. Nur die Wertigkeit dieser Primzahlen überschreitet irgendwann zwangsläufig den größten Wert in unserem begrenzten Zahlenraum. Das kann also nicht klappen.

In der Unendlichkeit jedoch ist ein bisschen 'mehr' an Wertigkeit ziemlich irrelevant.

[Apollonius]

Schlicht und einfach: Wenn Menge B eine echte Teilmenge aus Menge A ist, dann können sie trotzdem gleichmächtig sein.

[3_of_8]

...solange sie beide unendlich sind, wohlgemerkt.

[Apollonius]

Wobei das auch nicht immer so ist: N ist eine Teilmenge von R, aber echt schmächtiger.

[mkinzler]

Ist ja kein Widerspruch, da ja R + N beide nicht endlich sind.

[Phoenix]

Bei gleicher Mächtigkeit haben wir aber keine Teilmenge sondern die Identität

[Apollonius]

Zitat von Phoenix:

Bei gleicher Mächtigkeit haben wir aber keine Teilmenge sondern die Identität

N ist gleichmächtig zu Z, aber eine echte Teilmenge.

[3_of_8]

@Phoenix: Es seien A=B zwei endliche Mengen. Dann gilt A Teilmenge B und B Teilmenge A. Man muss Unterscheiden zwischen Teilmenge und echter Teilmenge (so ähnlich wieder Unterschied zwischen <= und <)