Ableitung programmieren

[TM.]

Hallo,

habe vor einiger Zeit angefangen, ein Funktions-Programm zu schreiben.
Eingebaut habe ich mittlerweile einen Parser, graphische Darstellung mit möglicher Zoom- und Genauigkeitänderung plus "Markierung" eines bestimmten Punktes der Funktion.

Nun habe ich mich an die Ableitung gewagt, die für verschiedene nächste Schritte benötigt wird.
Dazu lese ich alle Werte der eingegebenen Funktion - durch Rechenzeichen etc. getrennt - aus, leite diese dann einzeln ab und setze sie wieder in die Funktion ein.
Bsp. f(x) = x²+22x+5
Werte: x^2; 22x; 5;
Ableitungen: 2x; 22; 0;
Eingesetzt: 2x+22+0

Allerdings kann ich so nur "einfache" Funktionen wie diese ableiten. Für verkettete Funktionen wie bspw. sin(x²) müsste ich dazu nun anders vorgehen; Ableitung hier wäre ja cos(x²) * 2x.

Welche Systematik kann ich hier anwenden? Genügt es, einfach den Inhalt einer Klammer getrennt zu behandeln? Würde das auch mit mehreren Verkettungen funktionieren?

Habe jetzt eine ganze Weile herumgesucht; allerdings nichts Brauchbares finden können.

Vielleicht hat jemand hier eine Idee.

TM.