Im ersten UPDATE-Statement fehlen die Anführungszeichen im Array-Index. Leider lässt PHP das trotzdem zu, aber es ist falsch. Im zweiten ist alles richtig. Im dritten fehlt der Index für das Array, d.h. welches Feld du aus dem vorherigen Select denn benutzen willst. Im vierten und letzten Statement ist der gleiche Fehler wie im dritten, nur dass du hier auf den String-Verknüpfungsoperator verzichtet hast.
Dennoch kleiner Tipp am Rande, falls du deine Seite noch etwas optimieren willst:
UPDATE my_table SET AnzahlReg = AnzahlReg + 1 WHERE Seriennummer = '123'
Liebe Grüße,
Valentin