Der Browser parst, wie Du schon geschrieben hast, eine
HTML-Datei und stellt die Tags entsprechend als das dar, was Du siehst.
Du könntest, wenn Du den Text haben willst, ganz simpel alle Tags entfernen, allerdings bleibt dann auch viel Zeug über, dass Du gar nicht haben willst.
Wenn es sich um eine bestimmte Seite handelt, kannst Du es per Pos und Copy bestimmte Texte entnehmen.
Sollte das ganze allerdings generisch funktionieren, schaut es schlecht aus. Wenn Du wirklich das willst, was der Browser Dir anzeigt, könntest einfach die
HTML-Datei downloaden (also das, was Du bisher geschafft hast) und stellst diese in einem TWebBrowser dar.