Du könntest durch CookieCollection iterieren und die Daten z. B. in eine Ini-Datei schreiben.
Delphi-Quellcode:
var
i: Integer;
begin
for i := 0 to IdCookieManager1.CookieCollection.Count -1 do
begin
ini.WriteString('Cookie' + IntToStr(i), 'Domain', IdCookieManager1.CookieCollection.Items[i].Domain);
//etc.
end;
end;