Abstand eines Punkts zu einem Dreieck

[Nikolas]

Hallo Delphianer

Ich habe ein kleines Problem bei meinem aktuellen Projekt, dass auf den ersten Blick nicht allzu schwer aussieht.
Es geht darum, dass ich ein Dreieck im R3 durch seine Eckpunkte gegeben habe und nun den Abstand zu einem weiteren Punkt berechnen soll. Mit Abstand meine ich hier den kleinstmöglichen, also zwischen dem Punkt und einem der Eckpunkt, oder einem Punkt auf einer der drei Strecken, oder innerhalb des Dreiecks.

Mein Ansatz sieht so aus:
Berechne den Punkt in der Ebene, in der das Dreieck liegt, der den kleinsten Abstand zum gegebenen Punkt hat. Wenn dieser Punkt innerhalb des Dreiecks liegt, ist man fertig. Ansonsten betrachtet man die drei Strecken und macht eine Gerade-Punkt-Abstands berechnung und kommt so auch ans Ziel.

Der Punkt an dem ich gerade hänge, ist die Entscheidung, ob der Punkt innerhalb des Dreiecks liegt. Zur Zeit gehe ich von einer Darstellung des Dreiecks in Parameterdarstellung aus, wobei ich alle Punkte so verschiebe, dass einer der Eckpunkt des Dreiecks im Ursprung liegt. (dann: alpha*r_1+beta*r_2 ) Wenn ich aber alpha*r_1+beta*r_2 = P auflösen will, um dan später zu untersuchen, ob alpha und beta im richtigen Intervall liegen, komme ich auf Nenner, bei denen ich nicht genau sagen kann, ob sie nicht Null sind.

Hat da vielleicht jemand eine bessere Idee? Als zusätzliche Schwierigkeit kommt hinzu, dass diese Abfrage später in meiner Anwendung SEHR häufig ausgeführt werden muss, so dass die Laufzeit wichtig ist. Da die betrachteten Dreiecke sich nicht verändern, sondern nur die Punkte, können Hilfswerte wie Normalenvektoren schon im Vorraus berechnet werden.

Nikolas