Richtig, das geht über
MySQL. In deinem Quellcode verstehe ich nicht ganz, wo du das hinspeicherst. Für mich sieht es aus, als wolltest du das nur ausgeben und den alten Inhalt in einer Variablen festhalten.
Fass ich hier richtig liegen sollte, dann kann ich dir gleich sagen, dass das nicht funktionieren kann. JavaScript läuft clientseitig ab, also im Browser. Du könntest so maximal mit dir selbst chatten, denn dein Browser liest über JS den Inhalt aus, speichert ihn in einer Variablen und gibt diesen und den neuen Inhalt wieder aus. Falls andere Leute etwas schreiben sollten, bekommt dein Skript davon nichts mit. Das würde auch ohne AJAX gehen, dazu würde reines JavaScript reichen.
Also speichern musst du das irgendwo, wenn mehrere Leute chatten wollen. Daher beansprucht ein Chat auch relativ stark den Server.
Grüße, Matze