Null komma periodisch Neun ist aber das gleiche wie 1.
Meine Begründung: Sage mir eine Zahl, die größer als 0,9.. aber kleiner als 1 ist.

Eine solche Zahl existiert nicht, wie man sicher recht einfach zeigen kann, grob so:
Seien x_n die Ziffern der Zahl hinter dem Komma, so suche das erste Zeichen, mit x_k<>9. Da dieses x_k kleiber als 9 ist, ist auch die Zahl kleiner als 0,9.. . Existiert kein solcher Wert für k, ist diese Zahl gleich 1,9.. und somit auch nicht kleiner.
Für Zahlen größer 0,9.. ähnlich.
Da zwischen zwei unterschiedlichen reelen Zahlen immer noch eine andere liegt, wie man ähnlich wie oben zeigen kann, hier aber keine Zahl zwischen 0,9.. und 1 gefunden werden kann, sind die beiden 'Formulierungen' für 1 zwar unterschiedlich, stehen aber für den selben Wert.

// Vielleicht könnte ein Mod den Thread mal aufspalten, da wir uns doch recht stark von der schon geklärten Frage entfernt haben.

Der "Beweis" ist falsch

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Code:

0.9p heißt 0.9 Perdiode

0.9p * 10 = 9.9p              <- richtig

9 * 0.9p = (10 - 1) * 0.9p    <- richtig aber was hat
                               <- 9 * 0.9p mit 9.9p zu tuen ? 9.9p == 9.0 + 0.9p nicht 9 * 0.9p

         = 9.9p - 0.9p
9 * 0.9p = 9 
    0.9p = 1

Wie du siehst die Formale Umwandlung 9.9p != 9 * 0.9p == 9 + 0.9p
Aus diesem logischen Fehler heraus ergeben die anderen Ableitungen keinen Sinn mehr und der komplette Beweis muß falsch sein.

Warum sollte

9 * 0.9p == 9.9p - 0.9p sein ? Das ist grober Unsinn.

9 + 0.9p == 9.9p - 0.9p, das ist korrekt !

0.9 periode ist nicht 1.0 nur

0.9 periode + 0.0 periode 1 == 1.0

Selber nachdenken ist die Devise

Es geht dabei NICHT darum das zwischen 0.9p und 1.0 noch einer weitere Zahl liegt, das ist irrelevant, sondern nur wie groß der Abstand zwischen 0.9p und 1.0 ist. Und dieser ist exakt 0.0p1, also 0.0 Periode 0 und abschließende 1.
Das ist der minimalste Abstand zur Null quasi fast Null aber niemals ganz Null. Und wenn es diesen minmalen wertmäßigen Abstand zwischen 1.0 und 0.9p gibt so kann nicht 1.0 == 0.9p sein. Sondern ist immer

1.0 = 0.9p + x wobei x > 0

1.0 - 0.9p == x wobei x > 0

demzufolge

1.0 != 0.9p


Gruß hagen

Gut und ich verweise auf mein Ana1-Skript, besonders auf Proposition 1.4.13 auf Seite 51.

Zitat:

1.0 = 0.9p + x wobei x > 0

1.0 - 0.9p == x wobei x > 0

demzufolge

1.0 != 0.9p

Der 'Beweis' ist auch nicht unbedingt schön, da du in der ersten Zeile gleich dass hin schreibst, was du im Endeffekt beweisen willst, nämlich, dass x>0. Diese Zahl entspricht zwar deinem '0,p0 mit abschließender 1', aber für diese Zahl hast du auch keinen geschlossenen Ausdruck angegeben. Und 'Periode mit abschliesender Zahl' ist auch nicht ganz sauber.

Zitat:

Gut und ich verweise auf mein Ana1-Skript, besonders auf Proposition 1.4.13 auf Seite 51.

Finde ich dort nicht.

Du willst doch nicht ernsthaft behaupten das 1.0 == 0.9p ?

Die Schweibweise von 0.0p1 ist sekundär, wir wissen alle was ich meinte, nämlich 0.000000 unendlich 0 und eine 1 ganz am Ende. Das ist defakto die kleinste Zahl die größer Null ist.
Diese unendlich kleine Zahl existiert und ihre wertmäßige Größe ist und bleibt 1.0 - 0.9p.

Sorry, auch wenn meine eigenen Erklärungen desöfteren nicht mit mathematischen Formeln untermauert sind (was ja nur der Verständlichkeit durch unbedarftere Leser dient) so heist dies nicht das sie logisch falsch sind.

Der oben angeführte "Beweis" ist aber defintiv falsch, einfach weil bei der formalen Umstellung schon ein Fehler in den Operatoren gemacht wurde.

Zitat:

Der 'Beweis' ist auch nicht unbedingt schön, da du in der ersten Zeile gleich dass hin schreibst, was du im Endeffekt beweisen willst, nämlich, dass x>0. Diese Zahl entspricht zwar deinem '0,p0 mit abschließender 1', aber für diese Zahl hast du auch keinen geschlossenen Ausdruck angegeben. Und 'Periode mit abschliesender Zahl' ist auch nicht ganz sauber.

Wie kommst du darauf das dies ein Beweis ist ?
Es ist eine logische Schlußfolgerung und noch längst kein Beweis. Ich muß es nicht mal beweisen denn die eigentliche Ursache für diese zwingende Schlußfolgerung sind die Axiome der Mathemtik.

Wenn

1.0 == 0.9p + x ist dann kann nicht
1.0 == 0.9p sein
wenn x != 0 ist.

Wäre aber 1.0 == 0.9p + x und x == 0 dann wäre jede beliebige Zahl für 1.0 und 0.9p einsetzbar. Wenn aber jede beliebige Zahl stattdessen einsetzbar ist dann bedeutet das das alle Zahlen zueinder die gleiche Wertigkeit haben.
Dann wäre also auch 5 == 4 + 0 korrekt, oder 5 == 3 + 0 korrekt. Diese Konsequenz deiner Behauptung zerstört die komplette Sinnhaftigkeit aller Zahlen.

Gruß Hagen

Zitat:

Das ist defakto die kleinste Zahl die größer Null ist.
Diese unendlich kleine Zahl existiert und ihre wertmäßige Größe ist und bleibt 1.0 - 0.9p.

Und wenn ich diese Zahl halbiere? Null ist reell, deine Zahl auch, also werde ich eine Zahl finden, die dazwischen liegt.

Zitat:

Wäre aber 1.0 == 0.9p + x und x == 0 dann wäre jede beliebige Zahl für 1.0 und 0.9p einsetzbar. Wenn aber jede beliebige Zahl stattdessen einsetzbar ist dann bedeutet das das alle Zahlen zueinder die gleiche Wertigkeit haben.

Warum wäre dann die Gleichung auch für andere Zahlen gültig? Nur weil a-b=x hier darauf führt, dass x=0 sind, und damit a=b, heisst das nichts für andere Belegungen von a und b.


Hier noch die Proposition mit Beweis.

Ja und ? Dein Beweis beruht von Anfang an darauf das man die Reellen Zahlen in einem Wertebereich mit höchsten s Stellen vorraussetzt. Nun 0,9p hat unendlich viele Nahkommastellen und auf Grund deiner Grundbedingung mit höchsten s Stellen ist der angeführte Beweis auch nur gültig auf reelle Zahlen mit beschänkten Vorraussetzungen.
Dieser Beweis ist nichtsagend wenn man die Bedingung "mit höchsten s Stellen" streichen würde.

Zitat:

...und mit unserer Konvention für die Interpretation unendlicher Dezimalbrüche...

Da liegt der Pfeffer begraben. Denn diese Konvention setzt eine endliche Signifikanz der reellen Zahlen=Brüche vorraus. Die Signifikanz von 0.9p ist aber unendlich.

Zitat:

Und wenn ich diese Zahl halbiere? Null ist reell, deine Zahl auch, also werde ich eine Zahl finden, die dazwischen liegt.

Dann kommt logischerweise immer noch 0.0 unendlich 0 und eine 1 raus

(1 - 1/unendlich) / 2 = 1/2 - 1/unendlich/2 == 0.5 - 1/2/unendlich == 0.5 - 0.5/unendlich.

Du kannst also jede Zahl für die 1 einsetzen und es kommt immer das gleiche raus aber NIEMALS unendlich/unendlich == 0 weil auf der "linken" Seite der Terms einfach unendlich fehlt.

(1 - 1/ unendlich) * unendlich == unendlich

unendlich als solches ist niemals NICHTS sondern immer nur fast NICHTS oder fast 1.


Gruß Hagen

Der obere Teil bezieht sich auf die Aussage, dass man jede reelle Zahl durch einen unendlichen Dezimalbruch darstellen kann.
Ich habe eher den unteren Beweis nach Dedekind gemeint.

Was sagst du denn gegen das Argument, dass man keine Zahl zwischen diesen Zahlen finden kann?
Für dein x kannst du keinen Wert angeben, der wirklich größer als Null ist.

In deinem Edit benutzt du den Ausdruck 1/unendlich, der im reellen nicht definiert ist. Damit willst du dann die Addition aus den reellen Zahlen mit einer rellen und eine nicht-reellen Zahl ausführen, was nicht zulässig ist.

Zitat:

Dann kommt logischerweise immer noch 0.0 unendlich 0 und eine 1 raus

Nun ja. Dann hast du ein Zahl x aus R für die gilt: x=x/2 oder auch x/2=0. Somit kann dieses x für deine anfängliche Gleichung nicht passen, da du da ein x aus R>0 gesucht hast.

Zitat:

Was sagst du denn gegen das Argument, dass man keine Zahl zwischen diesen Zahlen finden kann?
Für dein x kannst du keinen Wert angeben, der wirklich größer als Null ist.

Das stimmt, ICH kann keinen konkreten Wert angeben, kann aber Formal nachweisen das es einen Wert geben muß der als Differenz eben unendlich klein aber nicht Null ist.

1 - 1/unendlich != 1

Das muß Fakt bleiben, da

0 != 1/unendlich


Der Term "unendlich" ist dabei nicht weg zu bekommen, er bleibt als Term immer erhalten. Dabei ist es egal ob man die 1 durch 2 oder jede andere Zahl ersetzt. Nur 1/unendlich - 1/unendlich == 0 kann richtig sein.

1 - 1/unendlich = 0.9p
1 = 0.9p + 1/unendlich

Dividiert man zb. duch 2 so ergibt sich

0.49p = 0.5 - 0.5/unendlich

und es muß wieder 0.000 unendlich 0 und 1 rauskommen. Logisch, wir haben ja nur beide Seiten der Formal, beide Brüche quasi mit 2 dividiert, also rein garnichts Wertmäßig verändert.

Ergo: 1/unendlich dividiert x ist 1/unendlich, oder als Konsequenz dessen

Unendlich * x = Unendlich
Unendlich / x = Unendlich

wenn X != 0.

Führen wir das nun zurück:

1 = 0.9p + x, und X > 0

X muß größer 0 sein weil ansonsten nicht mehr gilt

Unendlich * x = Unenldich
Unendlich / x = Unendlich

und X != 0

Gelte aber X == 0 dann wäre

Unendlich * 0 != Unendlich
Unendlich / 0 != Unenldich <- übrigens nicht definiert !!

als muß es eine Differenz zwischen 1 und 0.9p geben, namlich 1/unendlich > 0.

Gruß Hagen

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Code:

X = 0.9p     / x 10
10X = 9.9p
10X = 9 + 0.9p
10X = 9 + X  / -X
9X = 9        / :9
 X = 1

Gruss
Shaman

Aber was genau soll '1/infty' darstellen? Diese 'Zahl' ist nicht real. Was bedeutet also in deiner Rechung dieses Zeichen: '-'
Wie ist es definiert? Es kann nicht das 'Minus-Zeichen' sein, was jeder in der Grundschule gelernt hat, da dieses Minus in den reellen Zahlen nur als Verknüpfung von zwei Reellen Zahlen definiert ist. (Ok, eigentlich ist es gar nicht definiert, sondern steht a-b steht für die Addition von a mit dem additiv Inversen von b, wenn wir hier ganz genau sein wollen)
In fast allen deiner Rechnungen, benutzt du diesen 1/infty-Ausdruck und rechnest damit wie mit einer reellen Zahl, was man aber nicht darf. (jedenfalls nicht, ohne einen neuen Bereich der Mathe zu eröffnen, in dem man aber dann auch die Rechenregeln für diese Zahl erklären muss.)

Wenn du sagst, dass gilt 1 <> 0,9p, dann musst du mir eine Reelle Zahl f sagen (oder sagen, wie man sie finden kann), mit 1>f>0,9p.