Das ist wie beim selber machen: Du musst markieren, was du kopieren willst. Wenn du einfach nur bei einem Edit selber STRG-C drückst, dann kopiert er auch nicht. Daher: markiere was du kopieren willst. In deinem Falle würde ich mir mal die Methode "SelectAll" anschauen...
(Und nach dem kopieren kannst du mit ClearSelection das auch wieder zurück nehmen.)
Alternative: schau dir die
Unit ClipBrds mal an, diese bietet dir eine Instanz von TClipBoad als ClipBoard und der könntest du sonst den Inhalt des TEdit zuweisen.