Habe die Komponente leider nicht, darum kann ich nur vermuten, dass das TrayIcon sich nicht darum kümmert ob das MainForm minimiert wird oder nicht mehr sichtbar ist. Wie du das löst kann ich dir nicht sagen, vllt. gibt es ja ne Variable von TTrayIcon.MinimizeToTray die du auf True setzen musst oder du musst selbst TTrayIcon.Minimize() oder sowas aufrufen.
Ich kann dir aber die CoolTrayIcons sehr empfehlen. Die funktionieren prima und da hast du dann eine Variable (MinimizeToTray) für die Einstellung.
Torry: CoolTrayIcon