idHTTP (Komponentensammlungs Indys) sollte dir stark weiterhelfen. Per idHTTP.Get() kannst du eine Datei herunterladen, massig Beispielcode (z.B. mit Progressbar herunterladen) findest du über die Forensuche.
Ein FileExists ist ebenfalls sehr einfach möglich, du versuchst einfach die Datei herunterzuladen (sendest eine Anfrage), wenn dies klappt ist die Wahrscheinlichkeit das die Datei existiert ziemlich hoch, wenn nicht existiert die Datei entweder nicht oder du hast nicht genügend Rechte um auf diese zuzugreifen. Was meinst du mit Dateien im Internet öffnen? Webseiten oder was? Als Beispiel, da ich nicht annehme das auf irgendeinen Webserver eine Office-Suite installiert ist wird es schwer ein *.doc-Document zu öffnen.
Beschreib mal etwas genauer was du machen möchtest.
Schöne Grüße,