Erklären wir das mal alles an einem Beispiel.
Code:
10! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10
die 1 können wir entfernen sie ist die Einheit und damit irrelevant
Code:
10! = 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10
Obige Zahlen setzen sich zusammen aus Primzahlen und Zusammengesetze Zahlen, wir abstrahieren mal noch weiter
Code:
10! = 2^1 * 3^1 * 2^2 * 5^1 * 2^1 * 3^1 * 7^1 * 2^3 * 3^2 * 2^1 * 5^1
Nun noch weiter abstrahieren
Code:
10! = (2^1 * 2^2 * 2^1 * 2^3 * 2^1) * (3^1 * 3^1 * 3^2) * (5^1 * 5^1) * (7^1)
und nochmal weiter
Code:
10! = 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7^1
wir erkennen erstmal folgendes: Die Exponenten fallen immer weiter je größer die Basis wird, d.h. der Exponent zu basis 2 wird immer größer sein als die Exponenten der nachfolgenden Basen.
Aus diesem Grunde können wir wenn wir die Anzahl der Nullen im Dezimalsystem suchen -> 10 = 2*5 also sofort die Basis 2 vernächlässigen.
Ergo: nehmen wir den Exponenten zur Basis 5 und das ist die Anzahl der gesuchten Nullen im Dezimalsystem. In unserem Beispiel von 10! also 2 Nullen.
Genauer gesagt 10! hat zur Basis:
2 = 8 Nullen
3 = 4 Nullen
5 = 2 Nullen
7 = 1 Null.
Zur den Basen:
4 = 2*2 = 8/2 = 4 Nullen
6 = 2*3 = 4<8 = 4 Nullen
8 = 2*2*2 = 8/3 = 3 Nullen
9 = 3*3 = 4/2 = 2 Nullen
10 = 2*5 = 2<8 = 2 Nullen
11 = 0 Nullen
12 = 2*2*3 = 8/2=4 <= 4 = 4 Nullen
13 = 0 Nullen
14 = 2*7 = 1<8 = 1 Null
15 = 3*5 = 2<4 = 2 Nullen
16 = 2*2*2*2 = 8/4 = 2 Nullen
Um nun den Exponenten zur einer Basis zu finden geht man folgendermaßen vor. Man dividiert einfach das N aus N! mit der gesuchten Basis und addiert das auf einen Zähler.
Also beipsiel 100!
1.) 100 / 5 = 20, +20 = 20
2.) 20 / 5 = 4, + 4 = 24
3.) 4 / 5 = 0, Schleife abbrechen
Resultat = 24, ergo in 100! kommt der Term 5^24 vor.
1.) 100 / 7 = 14, +14 = 14
2.) 14 / 7 = 2, + 2 = 16
3.) 2 / 7 = 0, Schleife abbrechen
Resulat 16, ergo in 100! kommt der Term 7^16 vor.
Gruß Hagen