Quersumme erstellen die durch 9 teilbar ist

[Urba]

Hallo,

Hab mal ein bisschen rumgeschaut und einen schönen Beweis gefunden bzw selbst formuliert :

zu beweisen ist ja :

Ist die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar, dann ist auch die Zahl selbst durch 9 teilbar.

also nimmt man eine Zahl a deren Quersumme durch 9 teilbar ist (Für "Quersumme" setzte ich jetzt einfach mal die Zahl in geschweifte Klammern) :

a = a0 * 10^0 + a1 * 10^1 + ... + an * 10^n

{a} = a0 + a1 + ... + an

{a}
--- = n, n € N
9

nun wandelt man die eigentliche Zahl etwas um ...

a = a0 * 10^0 + a1 * 10^1 + ... + an * 10^n
= a0 * (10^0 - 1) + a0 + a1 * (10^1 - 1) + a1 + ... + an * (10^n - 1) + an

etwas umgeformt ergibt das

a = [ a0 + a1 + ... + an ] + [ a0 * (10^0 - 1) + a1 * (10^1 - 1) + ... + an * (10^n - 1) ]

unschwer zu erkennen ist dass im 2ten Block alle Summanden durch 9 teilbar sind (10-1, 100-1, 1000-1 ...). Der erste Block wissen wir allerdings aus unserer Vorraussetzung ist auch durch 9 teilbar und somit sind ALLE Summanden von a durch 9 teilbar und somit auch a selbst !!! Damit ist bewiesen : wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist, dann ist auch die Zahl selbst durch 9 teilbar. (sonst wäre der erste Block nicht durch 9 teilbar)


Ich weiß dass das jetzt nicht unbedingt die Antwort auf die Frage ist, aber so lernt jeder (eingeschlossen mich) mal wieder was dazu und vielleicht hilft es auch MiniKeks weiter.

Zu seinem eigentlichen Problem würde ich immernoch sagen, dass er die Zahlen von 9 bis [beliebige Anzahl] mit einer for-Schleife durchgeht und schaut, ob die Quersumme 9 ist. Ist dies der Fall ist die Zahl - wie wir ja jetzt wissen - durch 9 teilbar und er hat seine Zahl gefunden. Von daher gesehen ist es sogar doch hilfreich dass er den Beweis kennt, denn so muss er nur die Quersumme bilden, was bedeutend einfacher ist als immer zu testen ob die Zahl durch 9 teilbar ist.

Wünsche noch schöne Feiertage

Gruss
Urba