>= bei real?

[dizzy]

Man führte dazu die imaginäre Einheit ein, und ergänzt damit den Zahlenstrahl zur Gauss'schn Zahlenebene. Danach besteht jede Zahl aus zwei komponenten, nämlich Real- und Imaginärteil. Eine Zahl heisst dann nicht mehr "x", sondern quasi "x + yi". Das i ist nicht anders zu behandeln wie eine Variable die nie einen konkreten Wert zugewiesen bekommt, aber i² = -1.

Und dadurch allein lässt sich das ganze lösen: sqrt(x) mit x<0 ist "0 + sqrt(x)*i".
sqrt(-16) wäre also 0+4i. Das ganze zum Quadrat (die 0 kann man sich ja sparen): (4i)² = 4² * i² = 16 * -1 = -16

Kunstvoll gell!? Und was das ganze so irre macht ist, dass man mit diesen 2-komponentigen Zahlen ganz normal weiterhin addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren... etc.pp. kann. Sämtliche Axiome sind erhalten. Somit ist die Einführung der imaginären Komponente ein absolut gültiger Vorgang, und in der Physik zeigt sich oftmals dass die gesamte Mathematik sehr oft komplexer Natur ist. Es ist eine natürliche Erweiterung die nicht nur gültig ist, sondern zwangsläufig dazu gehört.
Jede dir bekannte Zahl ist somit "x + 0*i", und beim Radizieren negativer Realanteile stößt man als erstes an den Punkt an dem der Imaginäranteil einen Wert <> 0 bekommt.
Man kann die Rechenweise mit diesen Zahlen sogar auf die Vektorrechnung zurückführen! Es ist wie mit anderen 2-dim. Vektoren, nur dass man noch eine weitere Multiplikation einführt - die komplexe Multiplikation (daher der Name "komplexe Zahlen").

Und jetzt der Hammer: Man kann's noch weiter treiben, mit den Quaternionen oder hyperkomplexen Zahlen. Diese haben 3 Imaginäranteile und einen Realanteil. Problem bei diesen: Bei Quaternionen geht die Kommutativität verloren, bei den hyperkomplexen Zahlen geht das inverse Element bez. der Multiplikation. Man muss also Einbußen hinnehmen beim Rechnen. Man kann sogar ein Gerüst spannen so dass eine einzige Zahl aus 8 Werten besteht, Octernionen. Eine 8-dimensionale Zahl! Hier gehen weitere Axiome flöten, und es gibt schon keine praktische Anwendung mehr für diese Zahlen. Aber es ist denkbar.

Wie du siehst sind die komplexen Zahlen die vollständigsten. Alle Regeln gelten, und alle Operationen sind ohne Einschränkung anwendbar. Die Wurzel aus -1 ist i; i² = -1
Man kann mit diesen Zahlen zum Teil wunderbar einfach rechnen, und ohne sie würdest du nicht ein mp3 zu hören bekommen. Die Fouriertransformation baut nämlich auf komplexe Zahlen.


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Fabian