Lineares Gleichungssystem lösen

[Andreas13]

[Kegasetu]

Zitat von Andreas13:

Die Gleichungen lauetet wie folgt:

lzha1[1]*ma+2(lzha1[1]+lzha1[2])*mb+lzha1[2]*mc=mma1[1]
lzha1[2]*mb+2(lzha1[2]+lzha1[3])*mc+lzha1[3]*md=mma1[2]
lzha1[3]*mc+2(lzha1[3]+lzha1[4])*md+lzha1[4]*me=mma1[3]
lzha1[4]*md+2(lzha1[4]+lzha1[5])*me+lzha1[5]*mf=mma1[4]
lzha1[5]*me+2(lzha1[5]+lzha1[6])*mf+lzha1[6]*mg=mma1[5]
lzha1[6]*mf+2(lzha1[6]+lzha1[7])*mg+lzha1[7]*mh=mma1[6]
lzha1[7]*mg+2(lzha1[7]+lzha1[8])*mh+lzha1[8]*mi=mma1[7]
lzha1[8]*mh+2(lzha1[8]+lzha1[9])*mi+lzha1[9]*mj=mma1[8]



fab11[1]*blf11[1]+bl*lzha1[1]+mb=0
fab11[1]*blf11[1]+a*lzha1[1]-mb=0

fab11[2]*blf11[2]+cl*lzha1[2]+mb-mc=0
fab11[2]*blf11[2]+br*lzha1[2]-mb+mc=0

Die vier unteren sind noch nicht vollständig. Es geht mir erstmal um die oberen acht.

[Kegasetu]

Zitat von Kegasetu:

lzha1[1]*ma+2(lzha1[1]+lzha1[2])*mb+lzha1[2]*mc=mma1[1]
lzha1[2]*mb+2(lzha1[2]+lzha1[3])*mc+lzha1[3]*md=mma1[2]
lzha1[3]*mc+2(lzha1[3]+lzha1[4])*md+lzha1[4]*me=mma1[3]
lzha1[4]*md+2(lzha1[4]+lzha1[5])*me+lzha1[5]*mf=mma1[4]
lzha1[5]*me+2(lzha1[5]+lzha1[6])*mf+lzha1[6]*mg=mma1[5]
lzha1[6]*mf+2(lzha1[6]+lzha1[7])*mg+lzha1[7]*mh=mma1[6]
lzha1[7]*mg+2(lzha1[7]+lzha1[8])*mh+lzha1[8]*mi=mma1[7]
lzha1[8]*mh+2(lzha1[8]+lzha1[9])*mi+lzha1[9]*mj=mma1[8]

Es gilt mb bis mi herauszufinden.

[Andreas13]

Zitat von Kegasetu:

lzha1[1]*ma+2(lzha1[1]+lzha1[2])*mb+lzha1[2]*mc=mma1[1]
lzha1[2]*mb+2(lzha1[2]+lzha1[3])*mc+lzha1[3]*md=mma1[2]
lzha1[3]*mc+2(lzha1[3]+lzha1[4])*md+lzha1[4]*me=mma1[3]
lzha1[4]*md+2(lzha1[4]+lzha1[5])*me+lzha1[5]*mf=mma1[4]
lzha1[5]*me+2(lzha1[5]+lzha1[6])*mf+lzha1[6]*mg=mma1[5]
lzha1[6]*mf+2(lzha1[6]+lzha1[7])*mg+lzha1[7]*mh=mma1[6]
lzha1[7]*mg+2(lzha1[7]+lzha1[8])*mh+lzha1[8]*mi=mma1[7]
lzha1[8]*mh+2(lzha1[8]+lzha1[9])*mi+lzha1[9]*mj=mma1[8]

Es gilt mb bis mi herauszufinden.

Was ist mit ma und mj? Sind sie bekannt oder kommen noch zwei weitere Gleichungen dafür?
Gruß, Andreas

[Kegasetu]

Zitat von Andreas13:

Zitat von Kegasetu:

lzha1[1]*ma+2(lzha1[1]+lzha1[2])*mb+lzha1[2]*mc=mma1[1]
lzha1[2]*mb+2(lzha1[2]+lzha1[3])*mc+lzha1[3]*md=mma1[2]
lzha1[3]*mc+2(lzha1[3]+lzha1[4])*md+lzha1[4]*me=mma1[3]
lzha1[4]*md+2(lzha1[4]+lzha1[5])*me+lzha1[5]*mf=mma1[4]
lzha1[5]*me+2(lzha1[5]+lzha1[6])*mf+lzha1[6]*mg=mma1[5]
lzha1[6]*mf+2(lzha1[6]+lzha1[7])*mg+lzha1[7]*mh=mma1[6]
lzha1[7]*mg+2(lzha1[7]+lzha1[8])*mh+lzha1[8]*mi=mma1[7]
lzha1[8]*mh+2(lzha1[8]+lzha1[9])*mi+lzha1[9]*mj=mma1[8]

Es gilt mb bis mi herauszufinden.

Was ist mit ma und mj? Sind sie bekannt oder kommen noch zwei weitere Gleichungen dafür?
Gruß, Andreas

Die sind bekannt. Andernfalls würde sich das System auch nicht lösen lassen.
Ich bin gerade dabei mein Programm zu vereinfachen. Eventuell gelingt es mir sogar, den Code abzuändern und zu implementieren.
Danke für deine Unterstützung, ich würde mich später (morgen, übermorgen) nochmal melden und fragen, wenn ich nicht weiterkomme.

[Andreas13]

Hallo,
wenn allerdings ma und mj bekannt sind, habe sie auf der linken Seite des Gleichungssystems (GLS) nichts verloren! Denn die konstanten Terme sind per Definition auf der rechten Seite. Sie müssen dann von den jeweiligen mma1[Zeile] abgezogen werden.

Damit wird allerdings nicht nur die Struktur Deiner Koeffizienten-Matrix (= linke Seite des GLS; A_Matrix) und der Rechte-Seite-Vektor (b_Vektor) chaotisch, sondern auch die Benennung Deiner Variablen: Der Vektor mma1[..] enthält sowohl konstante, also bekannte Terme, wie auch die zu bestimmenden Unbekannten!

Zwei Vermutungen habe ich hierbei:

1):
Wenn ma und mj wirklich bekannt sein sollen, dann darfst Du sie nicht mit den Unbekannten zusammen speichern, sondern separat, unter ganz anderen Namen, sonst ist das Chaos perfekt und Du kannst später Deinen Code weder verstehen, noch warten, geschweige denn weiterentwickeln.

2):
Daher vermute ich eher, daß Du hier wahrscheinlich einen Spezialfall Deines GLS mit ursprünglich 10 Unbekannten behandeln willst, wenn zwei Unbekannte ma und mj definierte Werte annehmen. In diesem Fall solltest Du für die beiden „momentan“ konstanten Variablen ma und mj zwei weitere Gleichungen hinzufügen:

Code:

ma = mma1[0]
mj = mma1[9]

Damit wird die in der Struktur der Matrix und des Vektors steckende Gesetzmäßigkeit gewahrt. Das ist extrem wichtig für die Belegung von A-Matrix und b_Vektor, damit Du diese mit einer einfachen For-Schleife füllen kannst und nicht jedes Element mühselig und vor allem fehleranfällig „zu Fuß“ hinzufügen mußt.

Wenn Du obige Ratschläge beherzigst, entsteht auf der linken Seite Deines Gleichungssystems eine sogenannte Bandmatrix, ganz speziell eine Tridiagonal-Matrix. Diese läßt sich wesentlich schneller – mit einem Bruchteil an Operationen – und genauer (weniger Operationen, weniger Rundungsfehler) berechnen, allerdings nicht mit dem Gaußschen Algorithmus, sondern mit speziell für Tridiagonal-Matrizen entwickelten Algorithmen der linearen Algebra. Aber das würde hier zu weit führen. Daher nur so viel: Gauß ist OK, aber er macht hier riesige unnötige Umwege. Aber der heutige PC ist schnell und es fällt daher gar nicht auf.

Summe Summarum: Bevor Du also weiter programmierst, überprüfe zunächst Dein Gleichungssystem und benenne Deine Variablen mit Bedacht, damit Du es beim Implementieren der Algorithmen und bei der späteren Pflege der Routinen leichter hast.

Gruß, Andreas

[Michael II]

Noch ein Tipp: Zum Beispiel Maple und Mathematica können dir bei solchen Problemen oft sehr rasch helfen. Wenn du also Zugriff auf solche Software hast...

Maple gibt's auch online; allerdings in sehr reduzierter Form (LGS zum Beispiel nur bis dim=5):
https://de.maplesoft.com/products/St...pps/index.aspx

Wenn du oft Matheprobleme lösen musst und mit deiner Software Geld verdienst, dann lohnt sich die Anschaffung einer Vollversion ganz sicher.

[Kegasetu]

Zitat von Andreas13:

Hallo,
wenn allerdings ma und mj bekannt sind, habe sie auf der linken Seite des Gleichungssystems (GLS) nichts verloren! Denn die konstanten Terme sind per Definition auf der rechten Seite. Sie müssen dann von den jeweiligen mma1[Zeile] abgezogen werden.

Damit wird allerdings nicht nur die Struktur Deiner Koeffizienten-Matrix (= linke Seite des GLS; A_Matrix) und der Rechte-Seite-Vektor (b_Vektor) chaotisch, sondern auch die Benennung Deiner Variablen: Der Vektor mma1[..] enthält sowohl konstante, also bekannte Terme, wie auch die zu bestimmenden Unbekannten!

Zwei Vermutungen habe ich hierbei:

1):
Wenn ma und mj wirklich bekannt sein sollen, dann darfst Du sie nicht mit den Unbekannten zusammen speichern, sondern separat, unter ganz anderen Namen, sonst ist das Chaos perfekt und Du kannst später Deinen Code weder verstehen, noch warten, geschweige denn weiterentwickeln.

2):
Daher vermute ich eher, daß Du hier wahrscheinlich einen Spezialfall Deines GLS mit ursprünglich 10 Unbekannten behandeln willst, wenn zwei Unbekannte ma und mj definierte Werte annehmen. In diesem Fall solltest Du für die beiden „momentan“ konstanten Variablen ma und mj zwei weitere Gleichungen hinzufügen:

Code:

ma = mma1[0]
mj = mma1[9]

Damit wird die in der Struktur der Matrix und des Vektors steckende Gesetzmäßigkeit gewahrt. Das ist extrem wichtig für die Belegung von A-Matrix und b_Vektor, damit Du diese mit einer einfachen For-Schleife füllen kannst und nicht jedes Element mühselig und vor allem fehleranfällig „zu Fuß“ hinzufügen mußt.

Wenn Du obige Ratschläge beherzigst, entsteht auf der linken Seite Deines Gleichungssystems eine sogenannte Bandmatrix, ganz speziell eine Tridiagonal-Matrix. Diese läßt sich wesentlich schneller – mit einem Bruchteil an Operationen – und genauer (weniger Operationen, weniger Rundungsfehler) berechnen, allerdings nicht mit dem Gaußschen Algorithmus, sondern mit speziell für Tridiagonal-Matrizen entwickelten Algorithmen der linearen Algebra. Aber das würde hier zu weit führen. Daher nur so viel: Gauß ist OK, aber er macht hier riesige unnötige Umwege. Aber der heutige PC ist schnell und es fällt daher gar nicht auf.

Summe Summarum: Bevor Du also weiter programmierst, überprüfe zunächst Dein Gleichungssystem und benenne Deine Variablen mit Bedacht, damit Du es beim Implementieren der Algorithmen und bei der späteren Pflege der Routinen leichter hast.

Gruß, Andreas

Also chaotisch sollte das eigentlich nicht werden. Die bekannten Werte würde ich einfach gegen die Konstanten auf der anderen Seite rechnen. Das klappt schon, da bin ich ganz euphorisch. Ich sitze jetzt wieder dran und hoffe, ich bin nachher schon so weit die ersten versuche zu starten.

[Fiete45]

Moin,
habe das Gaußverfahren als Prozedur geschrieben:

Delphi-Quellcode:

type
  TVektor=Array of Extended;
  TMatrix=Array of TVektor;

procedure TGauss.GaussLGS(A:TMatrix;B:TVektor;var X:TVektor;var Anzahl:Integer);
  var N,K,I,L:Integer;
      T,Summe:Extended;
  begin
   N:=Length(B);
   for K:=0 to N-1 do
    begin
     // Pivotsuche
     I:=K;
     for L:=K+1 to N-1 do
      if abs(A[L,K])>abs(A[I,K]) then I:=L;
     if I>K then // tauschen der Zeilen i und k
      begin
       for L:=K to N-1 do
        begin T:=A[I,L];A[I,L]:=A[K,L];A[K,L]:=T end;
       T:=B[I];B[I]:=B[K];B[K]:=T;
      end;
     if A[K,K]=0.0 then begin Anzahl:=0;break end // K - Schleife verlassen, da keine Lösung
     else
      // Elimination
      begin
       for I:=K+1 to N-1 do
        begin
         T:=A[I,K]/A[K,K];
         for L:=K to N-1 do A[I,L]:=A[I,L]-A[K,L]*T;
         B[I]:=B[I]-B[K]*T;
        end;
       end
    end;
   if (A[N-1,N-1]=0.0) and (B[N-1]=0.0) then
    begin
     Anzahl:=1000000; // unendlich viele Lösungen
     exit;
    end;
   // Rücksubstitution
   Anzahl:=1; // genau eine Lösung
   X[N-1]:=B[N-1]/A[N-1,N-1];
   for I:=N-2 downto 0 do
    begin
     Summe:=0.0;
     for K:=I+1 to N-1 do Summe:=Summe+A[I,K]*X[K];
     X[I]:=(B[I]-Summe)/A[I,I];
    end;
  end;

Aufruf der Prozedur, wobei A und B mit Werten gefüllt sein müssen: GaussLGS(A,B,X,Anzahl);
X ist der Lösungsvektor, Anzahl enthält die Lösungsanzahl.
0 - keine Lösung
1 - genau eine Lösung
1000000 - viele Lösungen

Gruß Fiete

[Michael II]

Was mir bereits bei deinem Programm aufgefallen ist:
Du unterscheidest keine oder eine Lösung oder "unendlich viele" Lösungen.

Schön wäre es, wenn dein Programm im Fall "unendlich viele Lösungen" den Lösungsraum angeben würde.