Lineares Gleichungssystem lösen

**Kegasetu**

Bist du mit der Mathematik dahinter vertraut? Wenn nicht, ist das natürlich schwierig umzusetzen.

Aber sieh doch hier

https://www.delphipraxis.net/225-lin...en-loesen.html

Da ist auch die Mathe dahinter gut erklärt.

Die Mathematik dahinter ist ja nicht so kompliziert, aber beim Verständnis der Informatik hapert es gewaltig. Ich bin nur kurzfristig gezwungen mich damit auseinander zu setzen, also keine Sache die wirklich verinnerlichen muss.

Hier z.B.

zusammenfalten · markieren

Delphi-Quellcode:

			type

  TGaussSolved = array of Extended;

  TGaussLine = TGaussSolved;

  TGaussMatrix = array of TGaussLine;

function SolveLinearSystem(A: TGaussMatrix; m, n: Integer): TGaussSolved;

var

  i, j, k: Integer;

  Pivot: TGaussLine;

  PivotRow: Integer;

  Multiplicator, Sum: Extended;

Was genau diese Type-Funktion macht, kann ich mir nicht ganz erklären. So etwas habe ich nie behandelt. Nicht falsch verstehen, ich bin nicht faul um mich darein zu denken, aber eine möglich einfachen Weg würde ich schon gerne gehen, da ich dies nur, wie schon erwähnt, einmal mache.

**Andreas13**

Hallo Kegasetu,
Die Parameter der Funktion sind wie folgt zu deuten:
A: TGaussMatrix; ist die sog. erweiterte Koeffizienten-Matrix des Gleichungssystems, d.h. linke UND rechte Seiten aller Gleichungen zusammen:

a_0_0, a_0_1, a_0_2, ... a_0_m, b_0 // 1. Gleichung
a_1_0, a_1_1, a_1_2, ... a_1_m, b_1 // 2. Gleichung
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a_m_0, a_m_1, a_m_2, ... a_m_m, b_m // letzte Gleichung

a_0_0 bis a_m_m sind die Koeffizienten der linken Seiten der Gleichungen.
Die Reihenfolge der Indizes der Matrix ist immer: Zeile, Spalte.
b_0 bis b_m sind die Koeffizienten der rechten Seiten der Gleichungen.
m: Anzahl der Zeilen (= Anzahl der Unbekannten)
n: Anzahl der Spalten
Es gilt hierbei: n = m + 1 d.h. n_Spalten = n_Zeilen + 1
Der Rückgabewert TGaussSolved; der Funktion ist der Lösungsvektor und enthält die berechneten Werte:
X_0, X_1, X_2, ... X_m

Die Vektoren und die Matrix sind hier jeweils NULL-basierte Arrays.
Viel Erfolg!
Gruß, Andreas

**Kegasetu**

Zitat von Andreas13:

Hallo Kegasetu,
Die Parameter der Funktion sind wie folgt zu deuten:
A: TGaussMatrix; ist die sog. erweiterte Koeffizienten-Matrix des Gleichungssystems, d.h. linke UND rechte Seiten aller Gleichungen zusammen:

a_0_0, a_0_1, a_0_2, ... a_0_m, b_0 // 1. Gleichung
a_1_0, a_1_1, a_1_2, ... a_1_m, b_1 // 2. Gleichung
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a_m_0, a_m_1, a_m_2, ... a_m_m, b_m // letzte Gleichung

a_0_0 bis a_m_m sind die Koeffizienten der linken Seiten der Gleichungen.
Die Reihenfolge der Indizes der Matrix ist immer: Zeile, Spalte.
b_0 bis b_m sind die Koeffizienten der rechten Seiten der Gleichungen.
m: Anzahl der Zeilen (= Anzahl der Unbekannten)
n: Anzahl der Spalten
Es gilt hierbei: n = m + 1 d.h. n_Spalten = n_Zeilen + 1
Der Rückgabewert TGaussSolved; der Funktion ist der Lösungsvektor und enthält die berechneten Werte:
X_0, X_1, X_2, ... X_n

Die Vektoren und die Matrix sind hier jeweils NULL-basierte Arrays.
Viel Erfolg!
Gruß, Andreas

Danke, die Erklärung hilft.
Ich versuche das jetzt mal auf diesen Fall zu adaptieren:

l1*a+l2*b+l3*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b1
00*a+l2*b+l3*b+l4*c+l5*d+00*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b2
00*a+00*b+l3*b+l4*c+l5*d+l6*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b3
00*a+00*b+00*b+l4*c+l5*d+l6*e+l7*f+00*g+00*h+000*i =b4
00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+l6*e+l7*f+l8*g+00*h+000*i =b5
00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+l7*f+l8*g+l9*h+000*i =b6
00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+l8*g+l9*h+l10*i =b7
00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+l9*h+l10*i =b8
00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+00*h+l10*i =b9
00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b10

**Kegasetu**

Probiert habe ich es, weit bin ich nicht gekommen

markieren

Delphi-Quellcode:

			type

  TGaussSolved = array of Extended;

  TGaussLine = TGaussSolved;

  TGaussMatrix = array of TGaussLine;

Leider bekomme ich hier nur Fehler angezeigt.

**Andreas13**

Hallo,
Dein Zahlenbeispiel ist - wie von Dir oben angegeben wurde - noch nicht lösbar, weil die konkreten Zahlenwerte fehlen und Widersprüche in den Unbekannten vorhanden sind. Bitte alles überprüfen und korrigieren.

Du solltest Dein Programm etwa so gestalten:

zusammenfalten · markieren

Delphi-Quellcode:

			VAR

  A_Matrix     : TGaussMatrix; // korrigiert!

  X_Vektor     : TGaussSolved; // korrigiert!

  n_Gleichungen: Integer;

...

  n_Gleichungen := 10;

  SetLength(A_Matrix, n_Gleichungen, n_Gleichungen + 1);

  SetLength(X_Vektor, n_Gleichungen);

  Try

    // 0. Zeile:         1*a+l2*b+l3*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b1

    A_Matrix[0, 0] := ;  

    A_Matrix[0, 1] := ;  

    A_Matrix[0, 2] := ;

    A_Matrix[0, 3] := ;

    A_Matrix[0, 4] := ;

    A_Matrix[0, 5] := ;

    A_Matrix[0, 6] := ;

    A_Matrix[0, 7] := ;

    A_Matrix[0, 8] := ;

    A_Matrix[0, 9] := ;

    // 1. Zeile:         00*a+l2*b+l3*b+l4*c+l5*d+00*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b2

    A_Matrix[1, 0] := ;  

    A_Matrix[1, 1] := ;  

    A_Matrix[1, 2] := ;

    A_Matrix[1, 3] := ;

    A_Matrix[1, 4] := ;

    A_Matrix[1, 5] := ;

    A_Matrix[1, 6] := ;

    A_Matrix[1, 7] := ;

    A_Matrix[1, 8] := ;

    A_Matrix[1, 9] := ;

    // 2. Zeile:         00*a+00*b+l3*b+l4*c+l5*d+l6*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b3

    A_Matrix[2, 0] := ;  

    A_Matrix[2, 1] := ;  

    A_Matrix[2, 2] := ;

    A_Matrix[2, 3] := ;

    A_Matrix[2, 4] := ;

    A_Matrix[2, 5] := ;

    A_Matrix[2, 6] := ;

    A_Matrix[2, 7] := ;

    A_Matrix[2, 8] := ;

    A_Matrix[2, 9] := ;

    // 3 Zeile:          00*a+00*b+00*b+l4*c+l5*d+l6*e+l7*f+00*g+00*h+000*i =b4

    A_Matrix[3, 0] := ;  

    A_Matrix[3, 1] := ;  

    A_Matrix[3, 2] := ;

    A_Matrix[3, 3] := ;

    A_Matrix[3, 4] := ;

    A_Matrix[3, 5] := ;

    A_Matrix[3, 6] := ;

    A_Matrix[3, 7] := ;

    A_Matrix[3, 8] := ;

    A_Matrix[3, 9] := ;

    // 4 Zeile:          00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+l6*e+l7*f+l8*g+00*h+000*i =b5

    A_Matrix[4, 0] := ;  

    A_Matrix[4, 1] := ;  

    A_Matrix[4, 2] := ;

    A_Matrix[4, 3] := ;

    A_Matrix[4, 4] := ;

    A_Matrix[4, 5] := ;

    A_Matrix[4, 6] := ;

    A_Matrix[4, 7] := ;

    A_Matrix[4, 8] := ;

    A_Matrix[4, 9] := ;

    // 5 Zeile:          00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+l7*f+l8*g+l9*h+000*i =b6

    A_Matrix[5, 0] := ;  

    A_Matrix[5, 1] := ;  

    A_Matrix[5, 2] := ;

    A_Matrix[5, 3] := ;

    A_Matrix[5, 4] := ;

    A_Matrix[5, 5] := ;

    A_Matrix[5, 6] := ;

    A_Matrix[5, 7] := ;

    A_Matrix[5, 8] := ;

    A_Matrix[5, 9] := ;

    // 6 Zeile:          00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+l8*g+l9*h+l10*i =b7

    A_Matrix[6, 0] := ;  

    A_Matrix[6, 1] := ;  

    A_Matrix[6, 2] := ;

    A_Matrix[6, 3] := ;

    A_Matrix[6, 4] := ;

    A_Matrix[6, 5] := ;

    A_Matrix[6, 6] := ;

    A_Matrix[6, 7] := ;

    A_Matrix[6, 8] := ;

    A_Matrix[6, 9] := ;

    // 7 Zeile:         00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+l9*h+l10*i =b8

    A_Matrix[7, 0] := ;  

    A_Matrix[7, 1] := ;  

    A_Matrix[7, 2] := ;

    A_Matrix[7, 3] := ;

    A_Matrix[7, 4] := ;

    A_Matrix[7, 5] := ;

    A_Matrix[7, 6] := ;

    A_Matrix[7, 7] := ;

    A_Matrix[7, 8] := ;

    A_Matrix[7, 9] := ;

    // 8 Zeile:         00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+00*h+l10*i =b9

    A_Matrix[8, 0] := ;  

    A_Matrix[8, 1] := ;  

    A_Matrix[8, 2] := ;

    A_Matrix[8, 3] := ;

    A_Matrix[8, 4] := ;

    A_Matrix[8, 5] := ;

    A_Matrix[8, 6] := ;

    A_Matrix[8, 7] := ;

    A_Matrix[8, 8] := ;

    A_Matrix[8, 9] := ;

    // 9 Zeile:         00*a+00*b+00*b+00*c+00*d+00*e+00*f+00*g+00*h+000*i =b10 

    A_Matrix[9, 0] := ;  

    A_Matrix[9, 1] := ;  

    A_Matrix[9, 2] := ;

    A_Matrix[9, 3] := ;

    A_Matrix[9, 4] := ;

    A_Matrix[9, 5] := ;

    A_Matrix[9, 6] := ;

    A_Matrix[9, 7] := ;

    A_Matrix[9, 8] := ;

    A_Matrix[9, 9] := ;

    // Rechte Seite des GL-Systems: b1 ... b10

    A_Matrix[0, 10] := ;

    A_Matrix[1, 10] := ;

    A_Matrix[2, 10] := ;

    A_Matrix[3, 10] := ;

    A_Matrix[4, 10] := ;

    A_Matrix[5, 10] := ;

    A_Matrix[6, 10] := ;

    A_Matrix[7, 10] := ;

    A_Matrix[8, 10] := ;

    A_Matrix[9, 10] := ;

  X_Vektor:= SolveLinearSystem(A_Matrix, n_Gleichungen, n_Gleichungen + 1);

...

  Finally

    A_Matrix:= NIL;

    X_Vektor:= NIL;

  End;

Gruß, Andreas

**Kegasetu**

Erstmal vielen Dank für die Unterstützung!

Ja, ich habe einen Fehler eingebaut und b doppelt drin. Es sollte natürlich mit c weitergehen.

Ich selber muss mal einen Gang zurückschalten, da ich davon nahezu Null verstehe

Es ist doch etwas komplizierter als anfänglich gedacht.

Mal zum Hintergrund. Es werden immer Werte nach meinem Schema(a-j) gegeben sein. Es gilt b herauszufinden.

Mein Plan war es, einfach ein paar Zeilen in mein bereits bestehendes Programm zu geben und dann mittels Arrays ein paar Rechnungen durchzugehen. Mal sehen ob ich den Anhang entsprechend zerpflücken und dann simpel implementieren kann.

**Andreas13**

Eleganter wäre eine Lösung, wenn Du Deine Daten aus einer Textdatei einlesen würdest und die Matrix A in zwei Teile aufspaltest: Linke Seite (= Quadratische Matrix) und rechte Seite (= SpaltenVektor). Die Vektorspalte kannst Du an die Matrix per Programm-Code ranhängen. So kann man z.B. für verschiedene rechte Seiten des Gleichungssystems einfach neue Lösungen generieren.

Melde Dich wieder, wenn ich Dir etwas helfen kann.
Gruß, Andreas

**Kegasetu**

So sieht die "verbale" Matrix aus die ich lösen will:

lzha1[1]*MA+2(lzha1[1]+lzha1[2])*MB+lzha1[2]*MC=MMA1[1]
lzha1[2]*MB+2(lzha1[2]+lzha1[3])*MC+lzha1[3]*MD=MMA1[2]
lzha1[3]*MC+2(lzha1[3]+lzha1[4])*MD+lzha1[4]*ME=MMA1[3]
lzha1[4]*MD+2(lzha1[4]+lzha1[5])*ME+lzha1[5]*MF=MMA1[4]
lzha1[5]*ME+2(lzha1[5]+lzha1[6])*MF+lzha1[6]*MG=MMA1[5]
lzha1[6]*MF+2(lzha1[6]+lzha1[7])*MG+lzha1[7]*MH=MMA1[6]
........... (Eigentlich sollten jeweils die ersten Variablen untereinander stehen...)

Zusammengeschrieben:
lzha1[1]*MA+2(lzha1[1]+lzha1[2])*MB+lzha1[2]*MC=MMA1[1]
lzha1[2]*MB+2(lzha1[2]+lzha1[3])*MC+lzha1[3]*MD=MMA1[2]
lzha1[3]*MC+2(lzha1[3]+lzha1[4])*MD+lzha1[4]*ME=MMA1[3]
lzha1[4]*MD+2(lzha1[4]+lzha1[5])*ME+lzha1[5]*MF=MMA1[4]
lzha1[5]*ME+2(lzha1[5]+lzha1[6])*MF+lzha1[6]*MG=MMA1[5]
lzha1[6]*MF+2(lzha1[6]+lzha1[7])*MG+lzha1[7]*MH=MMA1[6]
lzha1[7]*MG+2(lzha1[7]+lzha1[8])*MH+lzha1[8]*MI=MMA1[7]
lzha1[8]*MH+2(lzha1[8]+lzha1[9])*MI+lzha1[9]*MJ=MMA1[8]
lzha1[9]*MI+2(lzha1[9]+lzha1[10])*MJ+lzha1[10]*MK=MMA1[9]
lzha1[10]*MJ+2(lzha1[10]+lzha1[11])*MK+lzha1[11]*ML=MMA1[10]

Dabei sind in jeder Gleichung alle Koeffizienten vorhanden, jedoch sind nur die hier hingeschrieben ungleich 0.

EDIT
MA und ML sind vorher schon definiert. Die Gleichungen lassen sich alles nach Gauss lösen (habe ich händisch ausprobiert)

**shebang**

Zitat von Andreas13:

n_Gleichungen := 10;

SetLength(A_Matrix, n_Gleichungen, n_Gleichungen + 1);
SetLength(X_Vektor, n_Gleichungen);
Gruß, Andreas

Zitat von Kegasetu:

Mir stellt sich jetzt noch die Frage, wie ich mit dem "SetLength" umgehe und vielmehr was es bedeutet?

SetLength setzt die Länge des Vektors bzw. der Matrix. In Andreas' Beispiel hat der Vektor 10 Zeilen und die Matrix 10 Zeilen und 11 Spalten.

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Kegasetu Registriert seit: 26. Sep 2013 85 Beiträge	#4 AW: Lineares Gleichungssystem lösen 29. Okt 2020, 12:51 Probiert habe ich es, weit bin ich nicht gekommen markieren Delphi-Quellcode: type TGaussSolved = array of Extended; TGaussLine = TGaussSolved; TGaussMatrix = array of TGaussLine; Leider bekomme ich hier nur Fehler angezeigt.
	Zitat