2D- in 3D-Koordinate umrechnen

[milos]

Hallo,

angenommen ich habe ein Dreieck welches ich von einem 3-Dimensionalen Raum auf eine 2D-Fläche zeichne.
Ich würde nun gerne bei einem Klick darauf die genauen 3D-Koordinaten berechnen.
Gegeben sind alle Ecken des Dreiecks in 3D und 2D Koordinaten.

Siehe anhang

Freundliche Grüsse

[jfheins]

Du nimmst einen Punkt (nennen wir ihn A) als Basis.
Im 2D Raum kannst du dann jeden Punkt als Linearkombination von AB und AC schreiben. Die Linearkombination würde ich erst als lineares Gleichunssystem schreiben, das auflösen und die daraus resultierenden Formeln ins Programm einbauen. Du bekommst zwei vielfache für deine Vektoren (nennen wir sie u und w ).

Diese Werte (u, w) kannst du dann wiederum als Linarkombination in den 3D-Raum übertragen. (A als Basis und AB und AC als Vektoren) Und fertig

[milos]

Zitat von jfheins:

Du nimmst einen Punkt (nennen wir ihn A) als Basis.
Im 2D Raum kannst du dann jeden Punkt als Linearkombination von AB und AC schreiben. Die Linearkombination würde ich erst als lineares Gleichunssystem schreiben, das auflösen und die daraus resultierenden Formeln ins Programm einbauen. Du bekommst zwei vielfache für deine Vektoren (nennen wir sie u und w ).

Diese Werte (u, w) kannst du dann wiederum als Linarkombination in den 3D-Raum übertragen. (A als Basis und AB und AC als Vektoren) Und fertig

Hallo,

erstmal für die schlauen Worte!

Könntest du das bitte ein wenig genauer erklären? Ich bin leider nicht wirklich ein Mathematik-Guru und verstehe nicht genau was mit Basis als Punkt A (3D oder 2D?) und der Linearkombination gemeint ist und was ich genau damit anstellen soll... :/
Wie gesagt, bin in Mathe wohl ein mal zu oft unkonzentriert gewesen.

Freundliche Grüsse

Edit: Falls unklar ist was ich genau meine, schaut im ersten Post vorbei da hab ich ein Bild hochgeladen ^^

[jfheins]

Ja klar (Ziel war es auch, auszuloten was genau ich noch weiter erklären muss )

Also alles etwas ausführlicher: Du hast ein 3D-Dreieck mit den Punkten A, B und C. Diese hast du in eine Ebene projiziert, nennen wir die Punkte a, b und c. (klein)

Ausgehend von dem Punkt a kannst du nun ein neues, angepasstes Koordinatensystem definieren. a ist der Ursprung, die Strecke ab die eine Achse und ac die andere. Das ist dann nicht rechtwinklig, aber es funktioniert trotzdem. Vorteil ist, dass du alle Punkte im Dreieck als Vielfache der beiden Strecken angeben kannst.
Für einen beliebigen Punkt im 2D-Dreieck (x, y) brauchst du nun die Koordinaten in dem neuen Koordinatensystem. Nennen wir die Variablen (u, v) dann ergibt sich folgendes:

latex_f5b3b0b29de2dad909a4bed8a8a7a84e.png

Mit den "Basisvektoren" b_1 und b_2. B_1 = b-a und b_2 = c-a. Die kannst du einfach nebeneinander in eine 2x2 Matrix schreiben.
Das ist jetzt ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) das sich gut lösen lassen sollte. (Wenn du nicht weist wie, frag nochmal nach. Wenn die Determinante der Matrix 0 ist, ist dein Dreieck nicht wohldefiniert.)

Wenn du das LGS gelöst hast, kannst du eine Formal für u und v hinschreiben. Diese überträgst du dann in das Programm und bekommst dann für jeden beliebigen Punkt die Werte u und v.

Anschließend rechnest du folgendes:
latex_7393fab1a0823dd2401b6fd605f868d8.jpg

Das Ergebnis (der Vektor X) ist dein Punkt im 3D-Raum.

[Namenloser]

Nur als ergänzenden Hinweis: An den Stellen, wo bei jfheins (b1 b2) bzw. (B1 B2) steht, sind jeweils Blockmatrizen gemeint. Für mich sah das zuerst aus wie ein Skalarprodukt und ich war etwas verwirrt.

[Zacherl]

Ich hatte mir vor einiger Zeit mal diverse Klassen gebastelt, die für deinen Zweck nützlich sein könnten (alle angelehnt an die DirectX 9 Datentypen wie Vector2, Vector3, Quaternion, Matrix, etc).

Eingebaut hatte ich neben Hilfsfunktionen zur Konvertierung auch Transformationen, mit denen du die Punkte skalieren, drehen, verschieben kannst und noch vieles mehr.

Wenn das für dein Projekt kein Overkill ist und du die Klassen gebrauchen kannst, dann schaue ich mal, ob die noch irgendwo auf meiner Festplatte rumfliegen.