Wie beweist man die objektive Existenz von irgendwas?

[JasonDX]

Zitat von mael:

Wenn man mit "Schluss" nur die Definition des "=>"-Operator/der Implikation meint ist das korrekt. Aus einer falschen Annahme kann nur Wahres folgen. Das ist aber eine Festlegung aus formalen Gründen und hat außerhalb der Logik keinen wirklichen Sinn/Aussagekraft.

Deswegen versuchen wir auch, unsere Systeme konsistent zu halten. Ich verwende allerdings nur ungern die Implikation beim Kombinieren von Axiomen. Axiome sind eher vergleichbar mit einer Vektorbasis. Wenn man dann Axiome kombiniert, spannen diese die Menge der in dem System beweisbaren Aussagen auf.

Zitat von mael:

Aber selbst innerhalb der Logik stimmt dies nur wenn man nur einzelne Schritte betrachtet.
Man will aber keine "lokale" Wahrheit, sondern globale Wahrheit. Die Wahrheit der gesamten Aussage wäre:

(1=2) und (1=2=>2=1) und (1=2 => 1+2=3) und (2=1 => 2+1=3)

Da die erste Aussage falsch ist, ist die Verundung mit dem Rest auch falsch.

Technisch gesehen müssten am Anfang der Aussage noch die Verundung mit den Grundaxiomen der Logik und der Rechenregeln stehen. Es fehlt also der Kontext.

Kurz gesagt: Axiome sind Annahmen. Wie definierst du aber, dass eine Annahme falsch ist? Dafür brauchst du wieder Kontext, und wo nimmst du den her? Den musst du auch erst wieder definieren, und damit drehst du dich im Kreis.

Zitat von mael:

Normalerweise wäre das wohl ein Detail, bei dem Thema finde ich es aber wichtig. Wahr als Ergebnis der Implikation mit einer falschen Prämisse ist ein technischer Trick, wahrscheinlich damit Ableitungsschritte unabhängig voneinander ausgeführt werden können.

Dieses "Wahr"-Ergebnis ist aber nur ein Hack. Man hätte genausogut (und wie ich finde sinnvoller) Implikationen mit falschen Prämissen das Ergebnis "Falsch" zuordnen können.

Die Implikation ist kein Trick, und kein Hack, sondern macht vollkommen Sinn. Nehmen wir an, wir haben Axiome {a, b, c}, und wir können aus (a und b) -> F herleiten. (a und b) <-> F würde wenig Sinn machen - schließlich kann bspw auch (b und c) -> F auch gelten, und wenn wir dann a aus dem System entfernen, gilt F immernoch, (a und b) <-> F wäre aber falsch. (Triviales Beispiel: F = b)

Zitat von Delphi-Laie:

Zitat von mael:

aus einer falschen annahme kann nur wahres folgen.

1=2
1=2 (+)
-------
2=4 (=)

Mael hat hier vollkommen recht. Im System, das durch die Addition wie gewohnt, und 1=2 aufgespannt wird, ist 2=4 auch eine beweisbare, und damit wahre Aussage. Dieses System macht zum Beschreiben der realen Welt nicht zwingend Sinn, ist aber als theoretisches Mittel nicht unbedingt unnütz. Ich verstehe nicht ganz, was du mit deinem Beitrag sagen wolltest. Ohne zusätzlichen Kommentar oder Erklärung wird man dich kaum verstehen.

Zitat von Luckie:

Anderer Ansatz: Was ist, wenn man das Gegenteil (nicht) Beweisen kann? Können wir beweisen, dass wir nicht eine Computersimulation eines übergeordneten Wesens sind? Wenn wir beweisen könne, dass wir es nicht sind? Sind wir dann real?

Wenn wir das Gegenteil beweisen können, ist die ursprüngliche Aussage falsch (oder der Beweis wird durch ein inkonsistentes System aufgespannt).
Wenn wir etwas nicht beweisen können, können wir keine Schlüsse daraus ziehen. Bspw. können wir die Kontinuumshypothese nicht beweisen, egal ob sie richtig oder falsch ist.

[mael]

Zitat von JasonDX:

Kurz gesagt: Axiome sind Annahmen. Wie definierst du aber, dass eine Annahme falsch ist? Dafür brauchst du wieder Kontext, und wo nimmst du den her? Den musst du auch erst wieder definieren, und damit drehst du dich im Kreis.

Axiome kann man nicht beweisen, aber Axiome dürfen sich nicht widersprechen. Ein Modell das Widersprüche in sich hat kann nicht zum sicheren logischen Schließen verwendet werden. Mathematik fordert aber Widerspruchsfreiheit. Wenn ich also eine weitere Annahme hinzufüge die den Axiomen widerspricht (1=2), dann ist auch jede damit geformte Aussage falsch (ob mit Implikation geformt oder anderen Verknüpfungen) da man immer (1=2) mit den Axiomen verunden muss. Alles was man aus so einem inkonsistenten Axiomensystem schließt ist eigentlich undefiniert, aber bei einer zweiwertigen Logik (true/false) ist false immernoch besser als Klarheit zu suggerieren (true).

D.h. wenn ich Konsistenzforderungen habe, dann kann ich sagen dass etwas falsch ist bezüglich dieser Forderungen, und damit auch der ganze Rest den ich daraus ableite.

Also, innerhalb dieses Systems, kann ich sehr wohl wahre von falschen Aussagen trennen. Aber ich mache eben eine Menge Annahmen die nicht unbedingt offensichtlich sind, wie dass sich die Axiome nicht ändern, dass ich Objekte zweifelsfrei vergleichen kann, dass Objekte durch den Vergleich nicht verändert werden, usw.

Aber ich kann immerhin unsinnige Aussagen von sinnvollen trennen. Das Problem ist, wie bei jeder Diktatur, wenn ich das Prinzip radikal durchziehe: Habe ich was vergessen? Sind meine Annahmen zu eng? Welche Voraussetzungen nehme ich unbewusst an? Daher bin ich für Logik in der Praxis aber vorsichtig wenn man versucht sie zu weitreichend anzuwenden. Es "skaliert" schlecht. Ebenso andere (Teil-)Welttheorien. Interessant, nützlich, aber nicht die Wahrheit und sollte nicht in Wissenschaftsgläubigkeit ausarten. Mathematik ist auch nicht reiner oder wahrer als andere Modelle/Wissenschaften.

Zitat von JasonDX:

Nehmen wir an, wir haben Axiome {a, b, c}, und wir können aus (a und b) -> F herleiten. (a und b) <-> F würde wenig Sinn machen - schließlich kann bspw auch (b und c) -> F auch gelten, und wenn wir dann a aus dem System entfernen, gilt F immernoch, (a und b) <-> F wäre aber falsch. (Triviales Beispiel: F = b)

Ich bin mir nicht sicher ob ich verstehe worauf du hinaus willst. Wenn du a aus dem System entfernst hat die Aussage (a und b) <-> F keinen Sinn mehr da a nun undefiniert ist (weder true noch false).

Um es mal zu vereinfachen und handlicher zu machen warum A=>B wahr ist wenn A falsch ist, zitiere ich mal von dieser Seite: http://matheraum.de/forum/Logische_Implikation/t1011634

Zitat von Alltagsbeispiel:

Wenn ich sage "Wenn es morgen regnet, dann werde ich mein Zimmer aufräumen.", dann habe ich weder gelogen wenn am nächsten Tag die Sonne scheint und ich mein Zimmer nicht aufräume noch habe ich gelogen wenn am nächsten Tag die Sonne scheint und ich mein Zimmer trotzdem aufräume.

Würde also in etwa dem hier entsprechen: Zeit=Morgen und Wetter=Regen => Zeit=Morgen und Handlung=Räume_Zimmer_Auf
Nimmt man an dass das Wetter unklar ist (Regen oder Sonnenschein) ist die obige Logik sinnvoll. Es ist also wahr was ich verspreche (Zimmer aufräumen wenn es regnet) egal welches Wetter es wird. Weiß man allerdings schon dass morgen die Sonne scheint kann man auch gleich sagen "Ich räume das Zimmer nicht auf".

Technisch keine Lüge, aber praktisch eine Irreleitung, da man natürlich von der Erfüllbarkeit der Bedingung ausgeht.

Das Problem ist also dass man eine Möglichkeit suggeriert (Zimmer aufräumen) die nie eintreten wird.

Die Implikation ist also isoliert (was ich oben "lokal" genannt habe) nicht falsch, aber es wird eben zusätzliches Wissen ignoriert das besagt dass der Fall Wetter=Regen nie erfüllbar ist.

Deswegen nenne ich es einen Hack. Praktisch zum Rechnen (und für Anwälte ) damit man wahre Aussagen treffen kann ohne sich um den konkreten Zustand (hier Wetter) der Welt zu kümmern.

Vielleicht sollte ich eher nicht erfüllbar sagen als falsch.

Worauf ich eigentlich hinaus will ist das hier:
http://www.ratioblog.de/entry/fehlsc...sche-praemisse

Hier wird von falscher Schlussfolgerung gesprochen.

Fazit:
Die Verwirrung entsteht also aus unsauberer Terminologie, denn Schlussfolgerung meint zumindest zwei Dinge:
https://de.wikipedia.org/wiki/Schlussfolgerung

Einmal die gesamte Implikation also, Prämisse => Konklusion, aber auch die Konklusion selbst wird Schlussfolgerung genannt.

Daher entsteht wohl die Verwirrung, weil man überlicherweise mit Schlussfolgerung die Konklusion meint und nicht das Gesamte: Prämisse => Konklusion.

Wenn man also nochmal das Beispiel mit dem Zimmer aufräumen nimmt. Die Schlussfolgerung (im Sinne der Konklusion) dass ich das Zimmer aufräumen werde ist falsch, wenn ich weiß dass es nicht Regnen wird.

Also, kann eine Welt die falsche Annahmen macht keine wahren Schlüsse (im Sinne von Konklusion) ziehen die diese Annahmen benötigen. Man kann wertlose Aussagen treffen (wie im Rechtswesen ) die für sich genommen wahr sind, aber nie erfüllbar. So etwas nennt man verwirrenderweise auch Schluss/Schlussfolgerung.

Ich würde soetwas (den "Rechtswesenschluss") eher kontextlosen Schluss oder abstrakten Schluss nennen. Die Instantiierung/Konkretisierung davon wäre dann was man üblicherweise Schlussfolgerung (Konklusion) nennt.

Aber egal... klare Begriffe waren noch nie die Stärke der Mathematik. Meine Vorschläge sind sicher auch nicht perfekt.