TV-Hinweis: Das Geheimnis der Mathematik

[Wolfgang Mix]

@Mods

Macht doch bitte hier dicht.
Es war doch nur ein TV-Hinweis.
Die meisten von uns benutzen Mathe doch nur als Werkzeug

[Delphi-Laie]

Zitat von Wolfgang Mix:

Macht doch bitte hier dicht.

Einer Bitte, der ich mich, auch wenn es merkwürdig erscheinen sollte, anschließe.

War lustig, aber nunmehr werde ich mich jedenfalls nicht mehr äußern. Spätestens seit:

Zitat von JasonDX:

Du sagst, Gesetze sind beweisbar, Axiome nicht: Was ist ein Beispiel für ein Gesetz, und wie wird es bewiesen?

In der Literatur und im Internet finden sich nämlich mathematische Beweise zuhauf.

[JasonDX]

Ich bin mir durchaus bewusst, was Axiome sind - ich habe ausreichend Zeit im Studium damit verbracht. Ich verstehe lediglich nicht, welche Gesetze Delphi-Laie anspricht. Die Gesetze, die sich "in der Literatur und im Internet" finden, sind allesamt herleitbar aus Axiomen. Keineswegs habe ich Gesetze gefunden, auf die die getroffenen Aussagen zutreffen:

Zitat von Delphi-Laie:

[...]und diese Gesetze sind - soweit wir das mit unserem Geiste erfassen können - völlig unabhängig von unserem Geiste, unserem Intellekt.

und

Zitat von Delphi-Laie:

Gesetze werden überhaupt nicht "ersonnen", sondern sind wesentliche und objektive Zusammenhänge unabhängig vom menschlichen Geiste. Gesetze werden bestenfalls entdeckt.

Da Axiome ihren Ursprung im menschlichten Geiste haben, sind Herleitungen daraus auch zwingend abhängig davon. Ich würde mich über einen Link freuen, der die gemeinten Gesetze beschreibt oder erklärt.
Vielleicht verstehen wir uns auch einfach nur falsch.

[Dejan Vu]

Ihr verwechselt "Axiom" bzw. "Definition" mit "Es ist einfach da".

Eins, zwei, drei. Diese Zahlen sind da. Überall. Ob man sie so nennt, oder ob sie einen interessieren, ist egal.

Den Pirahás (ein Stamm irgendwo im Amazonas glaube ich) ist das vollkommen egal, sie kennen keine Zahlen, und trotzdem werden sie ab und an zwei Fische verputzen, was doppelt so viele wie ein Fisch ist. Und wenn sie mal richtig Bock haben, essen sie sogar drei. Oder Beeren. Zählen können sie das nicht. Bzw. wollen es nicht. Aber die 3 Beeren sind 1-2-3 Beeren.
Legt man die Beeren neben die Fische (die noch nicht gegessen wurden, nehmen wir mal an), passt zu jedem Fisch ne Beere. Überall. Auf jedem Planeten. In jeder Galaxis. Falls es dort Fische gibt. Und Beeren.

Daher gibt es natürliche Zahlen überall. Und die Rationalen und irrationalen und total abgedrehten auch.

[BUG]

Zitat von Dejan Vu:

Eins, zwei, drei. Diese Zahlen sind da. Überall. Ob man sie so nennt, oder ob sie einen interessieren, ist egal.
...
und trotzdem werden sie ab und an zwei Fische verputzen, was doppelt so viele wie ein Fisch ist. Und wenn sie mal richtig Bock haben, essen sie sogar drei. Oder Beeren

Die Zahlen selbst sind eine Abstraktion von Sachen, die wir im echten Leben beobachten.
Selbst der Begriff Fisch ist nicht ganz klar. Ist der Biber ein Fisch? Ist des Quastenflosser ein Fisch? Bist du ein Fisch? Bin ich ein Fisch?

Wenn man ganz tief runter geht kann man nicht mal die Teilchen ordentlich zählen. Das ist alles Abstraktion. Was davon ist den nun real?

Es ist den Mathematikern gelungen, ein Axiomsystem zu finden, was sich mit den Beobachtungen in der realen Welt deckt und in sich konsistent ist.
Es gibt aber eben auch andere Überlegungen: eindeutig Mathematik, aber finde im normalem Leben mal ein Dreieck, dessen Innenwinkel nicht 180° sind.

[Delphi-Laie]

Zitat von BUG:

Zitat von Dejan Vu:

Eins, zwei, drei. Diese Zahlen sind da. Überall. Ob man sie so nennt, oder ob sie einen interessieren, ist egal.
...
und trotzdem werden sie ab und an zwei Fische verputzen, was doppelt so viele wie ein Fisch ist. Und wenn sie mal richtig Bock haben, essen sie sogar drei. Oder Beeren

Die Zahlen selbst sind eine Abstraktion von Sachen, die wir im echten Leben beobachten.

Die (natürlichen) Zahlen sind eine Abstraktion der Anzahl(en), um genau zu sein.

Im Deutschen gibt es diese sprachliche Differenzierung, im von mir vergleichsweise wenig geschätzten angelsächsischen z.B., soweit ich weiß, nicht.

Zitat von BUG:

Es ist den Mathematikern gelungen, ein Axiomsystem zu finden, was sich mit den Beobachtungen in der realen Welt deckt und in sich konsistent ist.

Das hatte ich hier ja - anscheinend vergeblich - zu "predigen" versucht: Wenn das alles (angeblich) reines Denkprodukt ist, warum ist es dann gedanklich nicht beliebig formbar? Warum kann man damit auch die reale Welt recht zuverlässig und präzis beschreiben? Keiner der Enthusiasten des rein Ideellen konnte oder wollte sich dieses Phänomens ernsthaft stellen.

Zitat von BUG:

Es gibt aber eben auch andere Überlegungen: eindeutig Mathematik, aber finde im normalem Leben mal ein Dreieck, dessen Innenwinkel nicht 180° sind.

Man zeichne mal eines auf einen Fußball oder auf einen Sattel, dann wird man "Nichteuklid" schon kennenlernen.

[BUG]

Zitat von Delphi-Laie:

Warum kann man damit auch die reale Welt recht zuverlässig und präzis beschreiben? Keiner der Enthusiasten des rein Ideellen konnte oder wollte sich dieses Phänomens ernsthaft stellen.

Weil die ersten Abstraktionen aus der realen Welt kamen und man sich passende mathematische Modelle sucht, um die Wirklichkeit zu beschreiben.

Zitat von Delphi-Laie:

Man zeichne mal eines auf einen Fußball oder auf einen Sattel, dann wird man "Nichteuklid" schon kennenlernen.

Die reale Welt ist doch dreidimensional, keine Fußballüberfläche

[Medium]

Zitat von Delphi-Laie:

Die (natürlichen) Zahlen sind eine Abstraktion der Anzahl(en), um genau zu sein.

Im Deutschen gibt es diese sprachliche Differenzierung, im von mir vergleichsweise wenig geschätzten angelsächsischen z.B., soweit ich weiß, nicht.

Man könnte zu beidem "number" sagen, aber für zweiteres ist "count" nicht ungewöhnlich und gerade im technisch-mathematischem Umfeld sogar geläufiger. (Siehe bei Delphi z.B. TStringlist.Count usw.) Für "Zahl" wird gerade in der Mathematik auch oft "figure" benutzt. Somit wäre mit "figure" und "count" eine vom Wortlaut her sogar noch bessere Abgrenzung gegeben, aber leider kann man mit "number" auch ein Wort für beides nehmen.


Zur Natur der Mathematik:
Sie war lange Zeit das, wozu sie Anfangs mal entwickelt wurde: Ein Formalismus, mit dem die reale Welt in quantifizierbaren Relationen symbolisch abgebildet werden kann. Im Laufe der Zeit auch immer umfassender und schlüssiger. Irgendwann war man aber an einem Punkt angekommen (bzw. vielen Punkten zu vielen verschiedenen Zeiten in den diversen Unterdisziplinen), an dem man merkte, dass dieser Formalismus zu weit mehr in der Lage ist, als bloße Realitätsbeschreibung. Ab und zu nahm man an, damit sogar bisher unbeobachtete Aspekte der Realität vorhersagen zu können, und besonders im Anwendungsfall "Physik" war und ist das noch heute regelmäßig der Fall.
Aber auch da hält die Mathematik nicht an, und eröffnet ein Gedankentor in Bereiche, die allen bekannten geltenden Regeln nach schlüssig sind, aber nach heutigem Wissensstand keine Entsprechung mehr in der Natur finden. Dennoch sind viele dieser "abgefahrenen" Dinge extrem nützlich in der echten Welt, da deren Benutzung auf dem Weg hin zu Realbeschreibungen oftmals überhaupt erst eine Lösung ermöglicht, oder alte sehr komplizierte Wege auf ein Mal sehr elegant werden lässt. Die Mathematik ist in Teilen so sehr Selbstzweck geworden, dass aus ihr heraus die Werkzeuge geschaffen werden, die in ihr selbst Anwendung finden, nicht selten um wieder andere Werkzeuge zu ermöglichen. Und dazwischen liegen manchmal so abgedrehte Sachen wie z.B. Infinitesimale, welche eine Zahlenklasse beschreiben, die vollständig zwischen den reellen Zahlen liegt(!), und dabei selbst unendlich mächtig ist. Dabei ist schon mit den reellen Zahlen die Wirklichkeit schon überfordert, weil in der gibt es die Planck-Länge unter die nichts mehr geht. (Nach heutigem Wissensstand.)
Wenn wir also nicht über popeliges Rechnen oder Spielzeuggeometrie reden, sondern über echte Mathematik, dort wo noch Forschung stattfindet, dann bildet sie in meinen Augen eine vollständig eigene Klasse von Wissenschaft, die sich recht genau in die Mitte zwischen Philosophie und Naturwissenschaft einreiht, wobei sie sich der Philosophie tendenziell eher bedient, und die Naturwissenschaften tendenziell eher beliefert. Aber sie ist definitiv ihr eigenes vollwertiges Gebiet, mitsamt Untergebieten die ihre jeweils eigenen Spezialisten haben.

[JasonDX]

Zitat von BUG:

Es ist den Mathematikern gelungen, ein Axiomsystem zu finden, was sich mit den Beobachtungen in der realen Welt deckt und in sich konsistent ist.

Das ist falsch. Wir können gar nicht wissen, ob ein Axiomensystem in sich konsistent ist. Und ob es sich mit der realen Welt deckt wissen wir auch nicht - wir haben bisher bloß keine Widersprüche gefunden.

Zitat von Delphi-Laie:

Das hatte ich hier ja - anscheinend vergeblich - zu "predigen" versucht: Wenn das alles (angeblich) reines Denkprodukt ist, warum ist es dann gedanklich nicht beliebig formbar? Warum kann man damit auch die reale Welt recht zuverlässig und präzis beschreiben? Keiner der Enthusiasten des rein Ideellen konnte oder wollte sich dieses Phänomens ernsthaft stellen.

Dass wir unsere mathematischen Konstrukte nicht verändern liegt nicht daran, dass wir es nicht könnten (das geht recht einfach), sondern dass wir wenig Sinn darin sehen, dies zu tun. Das habe ich auch schon vorhin geschrieben, aber dieser Tatsache konnte oder wollte sich hier keiner stellen.

[Daniel]

Ich sehe dazu keine Veranlassung.
Delphi-Laie und JasonDX spielen doch quasi "auf Augenhöhe" und bei allen inhaltlichen Differenzen ist das Ganze bisher sachlich. Meinetwegen darf das gern so bleiben.

Wenn Euch die Lust vergeht, dann ist das Eure Entscheidung und die Diskussion schläft ein. Auch das ist in Ordnung.