TV-Hinweis: Das Geheimnis der Mathematik

[BUG]

Zitat von Delphi-Laie:

Warum kann man damit auch die reale Welt recht zuverlässig und präzis beschreiben? Keiner der Enthusiasten des rein Ideellen konnte oder wollte sich dieses Phänomens ernsthaft stellen.

Weil die ersten Abstraktionen aus der realen Welt kamen und man sich passende mathematische Modelle sucht, um die Wirklichkeit zu beschreiben.

Zitat von Delphi-Laie:

Man zeichne mal eines auf einen Fußball oder auf einen Sattel, dann wird man "Nichteuklid" schon kennenlernen.

Die reale Welt ist doch dreidimensional, keine Fußballüberfläche

[Perlsau]

Vielleicht hilft das Folgende ein wenig beim Sondieren:

• Vor der Relativitäts- und Quantentheorie schien den Begriffen von Raum und Zeit nichts Problematisches anzuhaften. Die absolute Objektivität des Raums galt als sicher, d.h. niemand zweifelte, daß die Räumlichkeit auch losgelöst vom vorstellenden Ich da ist, obwohl das noch nie jemand beweisen konnte. Auch die Zeit war etwas rein Objektives und Reales, das ganz unabhängig von uns existiert. Im Innern des Atoms gibt es aber nun einen bestimmten Punkt, an dem für die menschlichen Sinne jede Meßbarkeit aufhört.
• Das Verständnis des Phänomens Sprache ist entscheidend für das Verständnis der Wirklichkeit. Das Verhältnis des Begriffs zur sinnlichen Anschauung ist dabei das Königsproblem des Denkens. Der Aufbau der Wirklichkeit aus festen Elementen ist die Bedingung für ihre Beschreibbarkeit. Wäre es anders – würden sich also in den Tatsachen keine konstanten, immer wiederkehrenden Elemente finden lassen –, würde die Möglichkeit des Ausdrückens und Beschreibens aufhören.
• In der Abstraktion haben wir aber ein Prinzip, das wir auf viele Vorgänge anwenden können, ohne für jeden Vorgang eine eigene Methode bereitstellen zu müssen. Sprache und Logik sind im Grunde nichts anderes, als denkökonomische Prinzipien. Jeder sprachliche Ausdruck ist eine Generalisierung, deren Zweck es ist, für möglichst viele Dinge zuzutreffen.
• Organisation des Denkens bedeutet, Einheit und Ordnung in unsere Gedankenwelt zu bringen. Ordnung gibt Sicherheit. Die ideale Ordnung ist das vollendet Logische. Der Kern des Denkens, der Logik und der objektiven Wissenschaft sind Symbole und Zeichen, bzw. Begriffe und Zahlen. Die Zahl ist die einfachste und allgemeinste Idee. Auf Zahlen kann man sich am ehesten einigen. Größen können mathematisch und damit objektiv ermittelt werden. Die Quantifizierung der Wirklichkeit geschieht durch Abstraktion, d.h. durch Wort oder Zahl. Das logische Rechnen mit Wörtern und Zahlen bestimmt, wieviel und wie groß. Wir ordnen die Welt nach Begriff, Maß und Zahl. Alle Messungsgrößen sind Zähleinheiten oder Begriffsformen.
• Das Prinzip der Abstraktion ist die Analogie. Jedes Wort ist in jeder Bedeutung durch die Beobachtung von Ähnlichkeiten entstanden. Verallgemeinern heißt strukturieren, um zu ordnen. In der gewöhnlichen Auffassung wird stets das Bekannte auf das Unbekannte übertragen, damit es sich in die Reihe der gewohnten Überlegungen einreihen läßt. Wir geben sich häufig wiederholenden Situationen den gleichen Namen, um das Geschehen zu vereinfachen und zu vereinheitlichen. Wer ordnet, fügt Ähnliches zu Ähnlichem. Die Abstraktion ist deshalb das Ordnungsprinzip schlechthin. Alles Denken ist im Prinzip nichts, als die Verbindung von Namen durch das Wörtchen ist. Das Pferd ist ein Säugetier. Dieses ist ist im Grunde gleichbedeutend mit dem mathematischen = Zeichen. Wir nennen verschiedene Dinge einfach deshalb beim selben Namen, weil diese Dinge einander ähnlich sind; es ist nichts Identisches in ihnen vorhanden. Eine Möglichkeit, reine Entitäten zu identifizieren, gibt es nicht.
• Die Kategorie ist die Form, der sich die Empfindung fügt, die aber selbst nicht direkt aus der Empfindung kommt. Keine unserer Vorstellungen geht unmittelbar auf den Gegenstand. Jede Vorstellung ist vermittelt. Den geheimnisvollen Vorgang, bei dem eine Empfindung zum Wort wird, nennen wir Abstraktion. Was aber durch Abstrahierung passiert, ist nicht etwa exakte Beschreibung, sondern allenfalls das Weglassen unwesentlicher Merkmale und eine Beschränkung auf relevante Kriterien. Kategorien sind die Formen des Verstandes und Hilfsvorstellungen, durch welche sich das Denken sein Geschäft, d.h. die Berechnung der Wirklichkeit erleichtert. Wer denkt und spricht, objektiviert seine Empfindungen, d.h. er verallgemeinert sie soweit, bis sie verstanden werden können.
• Alle Erkenntnis beruht im Grunde auf menschlichen Abstraktionen in Form von begrifflicher Gleichsetzung. In der kategorialen Form ist das Urphänomen des logischen Denkens zu suchen. Indem wir ein Ding oder einen Vorgang benennen, legen wir ihm Identität bei. Wir nehmen einen gemeinsamen Charakter an, wo wir eine Reihe von Einzeldingen mit demselben Namen bezeichnen. Alles, was wir brauchen, ist eine Ereignisreihe, die für uns genügend Einheit besitzt, um entweder gemessen oder benannt werden zu können. Das logische Denken braucht abgegrenzte und in Einheit gefaßte Objekte als Denkgegenstände. Erforschbar ist nur, was gleichbleibende Eigenschaften hat. Gegenständlichkeit ist deshalb eine absolute Voraussetzung allen Erkennens. Im logischen Denken werden darum Prozesse zu Dingen gemacht. Die sprachliche oder die logische Form ist der Anfang des isolierten Dings und der getrennten Existenz. Aus einem unendlichen, fließenden Geschehen grenzen wir ein Objekt ab und machen es zum Ding, zur Substanz – wir vergegenständlichen die Wirklichkeit. Der Begriff des Dings ist aber nur eine künstliche Einheit, die aus einem unendlichen Zusammenhang herausgerissen wird.

[Medium]

Zitat von Delphi-Laie:

Die (natürlichen) Zahlen sind eine Abstraktion der Anzahl(en), um genau zu sein.

Im Deutschen gibt es diese sprachliche Differenzierung, im von mir vergleichsweise wenig geschätzten angelsächsischen z.B., soweit ich weiß, nicht.

Man könnte zu beidem "number" sagen, aber für zweiteres ist "count" nicht ungewöhnlich und gerade im technisch-mathematischem Umfeld sogar geläufiger. (Siehe bei Delphi z.B. TStringlist.Count usw.) Für "Zahl" wird gerade in der Mathematik auch oft "figure" benutzt. Somit wäre mit "figure" und "count" eine vom Wortlaut her sogar noch bessere Abgrenzung gegeben, aber leider kann man mit "number" auch ein Wort für beides nehmen.


Zur Natur der Mathematik:
Sie war lange Zeit das, wozu sie Anfangs mal entwickelt wurde: Ein Formalismus, mit dem die reale Welt in quantifizierbaren Relationen symbolisch abgebildet werden kann. Im Laufe der Zeit auch immer umfassender und schlüssiger. Irgendwann war man aber an einem Punkt angekommen (bzw. vielen Punkten zu vielen verschiedenen Zeiten in den diversen Unterdisziplinen), an dem man merkte, dass dieser Formalismus zu weit mehr in der Lage ist, als bloße Realitätsbeschreibung. Ab und zu nahm man an, damit sogar bisher unbeobachtete Aspekte der Realität vorhersagen zu können, und besonders im Anwendungsfall "Physik" war und ist das noch heute regelmäßig der Fall.
Aber auch da hält die Mathematik nicht an, und eröffnet ein Gedankentor in Bereiche, die allen bekannten geltenden Regeln nach schlüssig sind, aber nach heutigem Wissensstand keine Entsprechung mehr in der Natur finden. Dennoch sind viele dieser "abgefahrenen" Dinge extrem nützlich in der echten Welt, da deren Benutzung auf dem Weg hin zu Realbeschreibungen oftmals überhaupt erst eine Lösung ermöglicht, oder alte sehr komplizierte Wege auf ein Mal sehr elegant werden lässt. Die Mathematik ist in Teilen so sehr Selbstzweck geworden, dass aus ihr heraus die Werkzeuge geschaffen werden, die in ihr selbst Anwendung finden, nicht selten um wieder andere Werkzeuge zu ermöglichen. Und dazwischen liegen manchmal so abgedrehte Sachen wie z.B. Infinitesimale, welche eine Zahlenklasse beschreiben, die vollständig zwischen den reellen Zahlen liegt(!), und dabei selbst unendlich mächtig ist. Dabei ist schon mit den reellen Zahlen die Wirklichkeit schon überfordert, weil in der gibt es die Planck-Länge unter die nichts mehr geht. (Nach heutigem Wissensstand.)
Wenn wir also nicht über popeliges Rechnen oder Spielzeuggeometrie reden, sondern über echte Mathematik, dort wo noch Forschung stattfindet, dann bildet sie in meinen Augen eine vollständig eigene Klasse von Wissenschaft, die sich recht genau in die Mitte zwischen Philosophie und Naturwissenschaft einreiht, wobei sie sich der Philosophie tendenziell eher bedient, und die Naturwissenschaften tendenziell eher beliefert. Aber sie ist definitiv ihr eigenes vollwertiges Gebiet, mitsamt Untergebieten die ihre jeweils eigenen Spezialisten haben.

[Dejan Vu]

Selbst wenn es überhaupt kein Leben mehr gibt, wird das Kommutativgesetz gelten. Vielleicht sind Mathematiker deshalb so tiefenentspannt: Was sie lernen und entdecken, ist von Dauer.

Die meisten Softwareentwickler hecheln den neuesten Erkenntnissen hinterher: Nichts ist von Dauer. Vorgestern war prozedurales Programmieren in. Gestern noch OOP und Vererbung. Und heute: Pattern. Und morgen? Quantenastralprogrammierung?

Zitat von BUG:

Die reale Welt ist doch dreidimensional, keine Fußballüberfläche

Moment! Die BuLi fängt bald wieder an, insofern gerät dein Weltbild ins Wanken.

[Perlsau]

Manche scheinen es einfach nicht begreifen zu können: Gesetze wurden und werden von Menschen ersonnen. Gesetze sind in erster Linie Formulierungen: Aneinander gereihte Symbole, deren Bedeutung erlernt werden muß, bevor man mit ihnen arbeiten kann. Ohne ein Gehirn, das ein Gesetz ausformuliert und/oder versteht, existiert dieses Gesetz nicht. Zudem ist der Satz "Selbst wenn es überhaupt kein Leben mehr gibt, wird das Kommutativgesetz gelten." nicht beweisbar und gehört daher in die Kategorie der Glaubensbekenntnisse. Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) ist eng mit der menschlichen Mathematik verknüpft und behält ausschließlich in der Mathematik seine Gültigkeit: Ein Satz, der als wahr gekennzeichnet werden darf, so lange er sich auf das von Menschen ersonnene mathematische System bezieht. Ohne Leben gäbe es aber keine Menschen, und ohne Menschen gäbe es keine menschlichen Gehirne, keinen menschlichen Geist, und daher auch kein von Menschen ersonnenes mathematisches System.

Der Mensch neigt noch immer dazu, die Systeme, die Netze von Symbolen, die er über die Natur legt, um sie verstehen zu können, als in der Natur bereits angelegt zu begreifen. Um diesen Irrtum begreifen zu können, kommt man nicht darum herum, sich mit Sprachphilosophie zu befassen. Erst dann beginnt man – vielleicht erst nach Jahren – zu erahnen, was es mit unserer Sprache bzw. unseren Sprachen auf sich hat, wie sie unsere Wirklichkeit erst erzeugen und nicht irgend eine ominöse "objektive" Wirklichkeit abbilden. Die so oft beschworene, angebliche Objektivität ist nichts weiter als das Resultat von Übereinkünften, von gleichartiger Schulung und Ausbildung. Kein Mensch, der von "objektiver Betrachtung" faselt, kann irgend etwas objektiv betrachten, sondern ist, da selbst Subjekt, immer subjektiv. Kein Mensch kann beweisen, daß etwas "objektiv" so oder so ist, weil er nicht objektiv sein kann.

Und wieder einmal werfe ich Perlen ...

[frankyboy1974]

Hallo,

Zitat:

Ohne ein Gehirn, das ein Gesetz ausformuliert und/oder versteht, existiert dieses Gesetz nicht.

Also ich hab mal vor ein paar Jahrzehnten '1984' von Orwell gelesen. Da findet im Ministerium für Liebe ungefähr die gleiche Diskusssion zwischen Winston Smith und O'Brien wie hier statt.
Mir geht es mittlerweile so wie Winston Smith am Ende des Buches, ich freu mich darauf, endlich erschossen zu werden.

mfg

[Daniel]

Zitat von frankyboy1974:

[...] ich freu mich darauf, endlich erschossen zu werden.

Bitte nicht im Forum. Das gäbe so viel Papierkram ... *seufz*

[JasonDX]

Zitat von BUG:

Es ist den Mathematikern gelungen, ein Axiomsystem zu finden, was sich mit den Beobachtungen in der realen Welt deckt und in sich konsistent ist.

Das ist falsch. Wir können gar nicht wissen, ob ein Axiomensystem in sich konsistent ist. Und ob es sich mit der realen Welt deckt wissen wir auch nicht - wir haben bisher bloß keine Widersprüche gefunden.

Zitat von Delphi-Laie:

Das hatte ich hier ja - anscheinend vergeblich - zu "predigen" versucht: Wenn das alles (angeblich) reines Denkprodukt ist, warum ist es dann gedanklich nicht beliebig formbar? Warum kann man damit auch die reale Welt recht zuverlässig und präzis beschreiben? Keiner der Enthusiasten des rein Ideellen konnte oder wollte sich dieses Phänomens ernsthaft stellen.

Dass wir unsere mathematischen Konstrukte nicht verändern liegt nicht daran, dass wir es nicht könnten (das geht recht einfach), sondern dass wir wenig Sinn darin sehen, dies zu tun. Das habe ich auch schon vorhin geschrieben, aber dieser Tatsache konnte oder wollte sich hier keiner stellen.

[Perlsau]

Zitat von frankyboy1974:

Hallo,

Zitat:

Ohne ein Gehirn, das ein Gesetz ausformuliert und/oder versteht, existiert dieses Gesetz nicht.

Also ich hab mal vor ein paar Jahrzehnten '1984' von Orwell gelesen. Da findet im Ministerium für Liebe ungefähr die gleiche Diskusssion zwischen Winston Smith und O'Brien wie hier statt.
Mir geht es mittlerweile so wie Winston Smith am Ende des Buches, ich freu mich darauf, endlich erschossen zu werden.

Vermutlich meinst du diese Szene hier: Zwiedenken (in neueren deutschen Ausgaben: Doppeldenk, engl. doublethink) ist eine zentrale These des Buches. Wenn die Partei sagt, 2 + 2 = 5, dann ist es so. Es genügt auch nicht, es nur zu sagen und dabei zu lügen, sondern man muss es wirklich glauben. Die Partei kontrolliert die Gedanken, wenn die Partei sagt 2 + 2 = 5, dann glauben es die Menschen, und wenn die Menschen es glauben, dann ist es so. Andererseits wird von O’Brien gegenüber Winston eingeräumt, dass es für wissenschaftliche Zwecke u. ä. manchmal schon erforderlich sei, zu wissen, dass 2 + 2 = 4 ist. Hier setzt dann das eigentliche Zwiedenken ein, da vom linientreuen Parteimitglied verlangt wird, zwischen „zwei Wahrheiten hin- und herzuschalten“ (in einem Moment 2 + 2 = 5, im nächsten 2 + 2 = 4), ohne sich dessen bewusst zu sein. Eine objektive Wahrheit außerhalb der Partei gibt es nicht. Unter der Folter sieht Winston tatsächlich einmal die verlangten fünf Finger, obwohl ihm O’Brien nur vier Finger zeigt.

[p80286]

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