(Mathe Frage) Volumenberechnung mit 4 Höhenpunkten?

[Mavarik]

Hallo Zusammen!

Gegeben ist ein Quadratmeter. (Loch in der Erde 1m x 1m)

Code:

A +----------+ B
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C +----------+ D

An Punkt A ist das Loch 5cm tief an B 10cm an C 20cm an D auch 7cm
Wie groß ist das Volumen, wenn ich das Loch mit (Sand/Wasser oder so.) auffüllen möchte?
(Angenommen die Tiefenänderung zwischen A->B; A-D; A->C; C->B sei Idealerweise linear!

Mavarik

[jfheins]

Nur, weil der Grenzverlauf auf dem Rand linear ist, weiß ich (streng genommen) noch nichts über den Verlauf innerhalb des Volumens.
Ich nehme mal einen bilinaren Verlauf an, auch wenn die Strecke A-D dann nicht linear ist.

Ich lege den Ursprung in Punkt C, der interessante Bereich ist dann zwischen x=0..1 und y=0..1. (Alle Angaben in Metern)
Als Ansatzfunktion verwende ich z = a + b*x + c*y + d*x*y mit den (zu bestimmenden) Konstanten a, b, c und d.
Ein Fit auf deine gegebenen Tiefen ergibt das lineare Gleichungssystem:
Punkt 0|0 in deiner Skizze C: 0,2 = a
Punkt 1|0 in deiner Skizze D: 0,07 = a + b
Punkt 0|1 in deiner Skizze A: 0,05 = a + c
Punkt 1|1 in deiner Skizze B: 0,1 = a + b + c + d

Mit Hilfe von WolframAlpha ergibt auch nun:
a = 0.2,
b = -0.13,
c = -0.15,
d = 0.18

Und damit deine Funktion zu z = 0,2 - 0,13*x -0,15*y + 0,18*x*y (WA Plot der Funktion)

Damit wäre dein "Loch in der Erde" schon mal vollständig beschrieben, und begrenzt. Jetzt muss man das nur noch Integrieren:
http://www.wolframalpha.com/input/?i....1%2C+y%3D0..1

integral_0^1 integral_0^1 (0.2-0.13 x-0.15 y+0.18 x y) dy dx = 0,105 m³

Ich hoffe jetzt mal, dass ich beim Copy&Paste keinen Fehler gemacht habe

[Uwe Raabe]

Geht auch einfacher:

Nehmen wir an, das Volumen setzt sich aus vielen dünnen Scheiben von Trapezen zusammen, dann kann das Trapez A-B durch ein Rechteck mit Höhe (A+B)/2 ersetzt werden. Ebenso für das Trapez am anderen
Ende (C+D)/2. Das ganze dann nochmal in die andere Richtung angewandt und deine durchschnittliche Höhe ist (A + B + C + D)/4;

[Lemmy]

oder man mache es sich ganz einfach und mittle die Höhen:

(0,1+0,2+0,05+0,07)/4 = 0,105 m

und damit ist
1m² * 0,105m = 0,105 m³

[Mavarik]

Wow wie cool ist das den...

Besonders der Funktionsplot..

Danke... Ich muss feststellen die Oberstufe ist einfach zu lange her.

[jfheins]

Okay, einfacher ist das mit den gemittelten Werten wohl schon. Aber schneller war ich trotzdem
Zudem ist der Ansatz auch (einfach?) auf nicht-quadratische Löcher und nicht-lineare Ränder erweiterbar

Zitat von Mavarik:

Wow wie cool ist das den...
Besonders der Funktionsplot..

Gerne

Zitat von Mavarik:

Danke... Ich muss feststellen die Oberstufe ist einfach zu lange her.

Gräme ich nicht, 2D-Integrale hatte ich erst an der Uni. Und da lernt man das dann auch, voll auf Zeit zu rechnen.

[Uwe Raabe]

Zitat von jfheins:

Zitat von Mavarik:

Danke... Ich muss feststellen die Oberstufe ist einfach zu lange her.

Gräme ich nicht, 2D-Integrale hatte ich erst an der Uni. Und da lernt man das dann auch, voll auf Zeit zu rechnen.

Der Trick mit den Mittelwerten ist etwas, daß ich erst nach dem Studium gelernt habe: Manchmal ist eine einfache, pragmatische Lösung für den konkreten Fall einer komplexen, generellen Lösung für alle Fälle vorzuziehen.

[Mathematiker]

Hallo,

Zitat von Mavarik:

Angenommen die Tiefenänderung zwischen A->B; A-D; A->C; C->B sei Idealerweise linear!

Tut mir leid. Das geht nicht. Deine 4 Punkte liegen nicht in einer Ebene! Irgendwo innerhalb des nicht ebenen Vierecks ACDB muss ein Knick sein.
Die vier Punkte (in cm) (0|0|5); (100|0|10); (0|100|20); (100|100|7) spannen eine Kugel auf (Mittelpunkt (49,78|50,1|11,83), Radius 70) und können damit nicht die Eckpunkte eines ebenen Vierecks sein.

Beste Grüße
Mathematiker

[Mavarik]

Zitat von Mathematiker:

Deine 4 Punkte liegen nicht in einer Ebene! Irgendwo innerhalb des nicht ebenen Vierecks ACDB muss ein Knick sein.

Stimmt... Weil ich die gegenüberliegenden Ecken tiefer gewählt habe...

Zitat von Mathematiker:

Die vier Punkte (in cm) (0|0|5); (100|0|10); (0|100|20); (100|100|7) spannen eine Kugel auf

Mit Sicherheit nicht... Eher 2 Dreiecke...

Wenn man so die Flächen beider Beispiel errechnet und davon den Mittelwert nehmen würde...(Wahrscheinlich das gleiche Ergebnis)

[Mathematiker]

Hallo,

Zitat von Mavarik:

Mit Sicherheit nicht... Eher 2 Dreiecke...

Sorry, 4 Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, spannen immer(!) eine Kugel auf. Das Ermitteln dieser Kugel oder des Volumens der von den 4 Punkten aufgespannten Spats ist ein Test, ob die 4 Punkte in einer Ebene liegen.
Das hat nichts mit der konkreten Aufgabe zu tun.
Bei Deiner Aufgabe sind es zwei Dreiecke. Und deshalb ist da ein linearer Ansatz nicht korrekt.

Beste Grüße
Mathematiker