Ziegenproblem

[Popov]

Zitat von himitsu:

Wenn von 1000 Flugzeugen Eines abstürzt und kurz vor dem Flug nimmt jemand 998 Flugzeuge raus, welche nicht abgestürzt wären,

dann liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0,1% (1:1000), daß man das Abstürzende erwischt, wenn man nicht tauscht.
Bucht man nun aber kurz vor dem Flug um, dann erwischt man das Abstürzende zu 99,9% (999:1000).

Die Logik klingt fast wie in dem Film "Garp und wie er die Welt sah". Garp ist da gerade mit seiner Frau ein Haus am kaufen, als in dem Moment ein Flugzeug auf das Haus stürzt und es stark beschädigt. Darauf wendet er sich begeistert zu seiner Frau hin und schlägt vor das Haus sofort zu kaufen. Seine Logik: Flugzeuge stürzen auf Häuser, da besteht immer eine Wahrscheinlichkeit. Ein mal ja. Es kommt aber im Grunde nie vor, dass ein Haus zwei mal von einem Flugzeug getroffen wird, womit dieses Haus nun für alle Zeiten sicher ist

[himitsu]

Es wird zumindestens nicht zwei Mal vom selben Flugzeug getroffen.

[Popov]

Ich habe hier (http://www.delphipraxis.net/179451-d...enproblem.html) ein Programm als Spiel geschrieben, mit dem man das Problem durchspielen kann. Zwar wurden hier Codestücke gepostet die Statistiken liefern, es ist aber immer schön das live zu erleben, und vor allem spielerisch zu erleben.

Wer Interesse hat, kann da mal rein gucken.

[Mathematiker]

Hallo,
ich verfolge die Diskussion und bin immer mehr verwundert. Das Ziegenproblem ist scheinbar der Klassiker zum Verwirren.
Erst einmal: "Gesunder Menschenverstand" und Wahrscheinlichkeitsrechnung schließen sich gegenseitig aus.
Zweitens: Das Problem ist eindeutig lösbar.

Es sind die Ereignisse definiert: MB … der Moderator hat das Tor B geöffnet, GC … der Gewinn ist im Tor C und analog MA, MC, GA, GB.
Der Kandidat hat Tor A gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor B geöffnet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn hinter Tor C ist? Gesucht ist damit die bedingte Wahrscheinlichkeit P(GC|MB), dass der Gewinn hinter Tor C ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor B ist.
Nach dem Satz von Bayes wird
P(GC|MB) = P(MB und GC) / P(MB) =
= (P(MB|GC) P(GC)) / (P(MB|GA) P(GA) + P(MB|GB) P(GB) + P(MB|GC) P(GC)) =
= (1 · 1/3) / (1/6 + 0 + 1/3)
= 2/3
D.h., der Gewinn ist mit 2/3 hinter Tor C und der Kandidat sollte stets wechseln.
Vertauscht man A, B, C irgendwie, ändert sich nichts.

Simulationen sind zwar immer schön, aber sie können nur bestätigen, was die Theorie sagt.

Beste Grüße
Mathematiker

[hathor]

Geh aufs Ganze ist hier beschrieben:
http://de.wikipedia.org/wiki/Geh_aufs_Ganze!

Wahrscheinlich ist die Gewinnwahrscheinlichkeit dann am Größten gewesen, wenn man den Verlockungen des Moderators NICHT folgte.

[creed steiger]

Es kommt immer auf die Betrachtungsweise an:
Soweit ich es verstanden habe
-Der Moderator öffnet immer ein Tor mit einer Ziege.
-Die Endsituation ist immer Gewinn/Ziege.
-Das "Vorspiel" mit der Wahlmöglichkeit zwischen drei Toren ist eigentlich überflüssig, weil am Ende immer Gewinn gegen Ziege steht.
-Die Situation Ziege/Ziege kommt durch die Moderatorenvorgabe niemals vor.

[himitsu]

Kommt es da nicht drauf an, wie man den mittleren Gewinn einstuft?

Mittel = Verloren (kein Hauptgewinn)
oder
Mittel = auch ein Gewinn

Wenn man das als Gewinn ansieht, dann muß die Wahscheinlichkeit doch andersrum sein?
Schließlich wären da die Gewinne ja die Ziegen.

[Bjoerk]

http://www.youtube.com/watch?v=FX2nrCM9xAw

[himitsu]

Nettes Video

Aber bei dem Zonk wird das Mathematisch noch viel schwieriger.

- Den Hauptgewinn zu Beginn zu tfeffen liegt bei 33%
- Wenigstens einen Gewinn zu Treffen bei 67%
- den Zonk zu teffen bei 33%

Wenn der Moderator den kleinen Gewinn anzeigt, wechselt man dann?
- entweder man hat den Hauptgewinn oder man hat den Zonk = 50:50-Chance ... wechseln oder nicht?
- - wenn hinter dem anderen Tor der Zonk saß, dann hatte der Moderator keine Wahl
- - wenn dahinter der Hauptgewinn ist, dann zeigt er vermutlich en Kleineren, um dich mehr unter druck setzen zu können

- zeigt der Moderator den Hauptgewinn, dann hatte der Moderaor eventuell keine Chance, weil hinter dem anderen Tor vermutlich der Zonk sitzt = fast 100%, also nicht wechseln


Ziegenproblem: Dem Moderator ist es egal, welche Ziege er anzeigt (50:50, es sei denn er hat Eine lieber)
Zonkproblem: Dem Moderator ist es nicht egal und wenn, dann wird er wohl öfters den kleinen Gewinn anzeigen, um mehr spannung/druck zu erzeugen

[Bjoerk]

Zitat von himitsu:

Nettes Video Aber bei dem Zonk wird das Mathematisch noch viel schwieriger. [..]

Würd ich nicht sagen, da der Kandidat ja das Auto gewinnen möchte? Da der Kandidat mit 2/3 Wahrscheinlichkeit am Anfang das Auto nicht trifft sollte er genau wie beim Ziegenproblem immer wechseln.