Ziegenproblem

[Popov]

Ich hab vor einiger Zeit mich auch damit auseinandergesetzt, nur weil ich keinen Vorteil darin sah zu wechseln. Ich hab im Laufe meiner Überlegungen ein halbes Dutzend Programme geschrieben um die These überprüfen. Leider habe ich später in eignen einen Fehler entdeckt, habe es aber versäumt die zu löschen, so dass ich heute nicht mehr weiß welche Programme nun falsch sind.

Hier eines der Programme:

Delphi-Quellcode:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
const
  AnzahlSpiele = 1000;
var
  i, Preis, Ziege1, Ziege2, DirektTreffer, WechselTreffer,
  ErsteWahl, NeueWahl: Integer;
begin
  DirektTreffer := 0;
  WechselTreffer := 0;
  Randomize;

  for i := 1 to AnzahlSpiele do
  begin
    //Die Wahl ist eigentlich ein unnötig, man könnte auch 1, 2, 3 nehmen,
    //aber wir tun mal so

    //Preis und zwei Ziegen zufällig auf Tore 1, 2 und 3 verteilen
    Preis := Random(3) + 1;
    repeat Ziege1 := Random(3) + 1 until Ziege1 <> Preis;
    repeat Ziege2 := Random(3) + 1 until (Ziege2 <> Preis) and (Ziege2 <> Ziege1);

    //Erste Wahl des Spielers, bei der er bleibt
    ErsteWahl := Random(3) + 1;
    //repeat ErsteWahl := Random(3) + 1 until ErsteWahl <> Ziege1;

    //Zweite Wahl des Spielers, nach dem Öffnen des Tores mit Ziege1
    repeat NeueWahl := Random(3) + 1 until NeueWahl <> Ziege1;

    //Zählen
    if ErsteWahl = Preis then Inc(DirektTreffer); //Treffer des Spielers beim nicht Wechsel
    if NeueWahl = Preis then Inc(WechselTreffer); //Treffer des Spielers beim Wechsel
  end;

  ShowMessage(Format('Direkte Treffer: %d, Wechsel Treffer: %d', [DirektTreffer, WechselTreffer]));
end;

Ich bin selbst heute der Meinung, dass es keinen Vorteil gibt. Ich kenne die mathematische Erklärung. Am Anfang hat man eine 33% Chance auf den Preis. Danach nimmt der Spielleiter ein Tor aus dem Spiel, wobei es immer ein Tor mit einer Ziege ist, so dass nun noch zwei Tore übrig bleiben, eines mit dem Preis und eines mit einer weiteren Ziege. Bei zwei Toren steht die Chance bei 50%. Beim Wechsel hat man nun eine Chance von 66% auf den Preis.

Das Problem ist allerdings, selbst wenn das Programm ein anderes Ergebnis nennt (aber wie gesagt, ich weiß nicht ob es das richtige Ergebnis liefert), dass man schon bei der ersten Wahl die Chance bei 50:50 lag, denn schon von Anfang an war sicher, das eines der Tore mit der Ziege aus dem Spiel genommen wird. Es war also schon von Anfang an die Wahl zwischen dem Preis und einer der Ziegen.

Der Vorteil ist somit zwar mathematisch da, weil es im Grunde zwei Spiele gibt, eines mit 33% und eines mit 50%, aber nicht praktisch, weil immer ein Tor mit einer Ziege raus fliegt.

[TForm1]

Zitat von Popov:

Das Problem ist allerdings, selbst wenn das Programm ein anderes Ergebnis nennt (aber wie gesagt, ich weiß nicht ob es das richtige Ergebnis liefert), dass man schon bei der ersten Wahl die Chance bei 50:50 lag, denn schon von Anfang an war sicher, das eines der Tore mit der Ziege aus dem Spiel genommen wird. Es war also schon von Anfang an die Wahl zwischen dem Preis und einer der Ziegen.

Der Vorteil ist somit zwar mathematisch da, weil es im Grunde zwei Spiele gibt, eines mit 33% und eines mit 50%, aber nicht praktisch, weil immer ein Tor mit einer Ziege raus fliegt.

Der Vorteil ist nicht nur mathematisch sondern auch praktisch da, da Du ja am Anfang trotzdem aus 3 Toren wählst. Stell Dir vor, Du hast eine Chance von 1/3 den Gewinn zu bekommen; Wenn jetzt der Quizmaster eins der beiden übrigen Tore öffnet, dann muss er ja das ohne den Gewinn nehmen (außer Du bist von Anfang an Richtig, dass allerdings nur mit der Wahrscheinlichkeit von 1/3). Auf den beiden anderen liegt eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 die beim öffnen eines Tores auf das noch geschlossene übertragen wird. Das ist relativ abstrakt, aber grundsätzlich auch praktisch so verwendbar. Interessant wäre jetzt das einige 1000 mal durchzuprobieren um diese These zu prüfen, aber laut heutigem Stand der Wissenschaft würde das schon so sein.

[Mikkey]

Zitat von Popov:

Der Vorteil ist somit zwar mathematisch da, weil es im Grunde zwei Spiele gibt, eines mit 33% und eines mit 50%, aber nicht praktisch, weil immer ein Tor mit einer Ziege raus fliegt.

Es gibt keine zwei Spiele, sondern die erste (alle bis auf die letzte) Auswahl ist sinnlos. Nur die letzte Auswahl entscheidet über den Gewinn. Daher ist immer die Chance 50:50

[Popov]

@TForm1

Wie schon gesagt, das Problem ist abstrakt. Der Vorteil liegt nur zwischen der Chance des ersten Durchgangs und des zweiten Durchgangs. Ich hab das Spiel beim ersten Fall falsch wiedergegeben. Korrekt lautet die Regel: zuerst hat man die Wahl zwischen drei Toren, also eine Chance von 33% auf den Gewinn. Beim zweiten Durchgang nimmt der Spielleiter vorher ein Tor mit einer Ziege raus und bietet nun den Wechsel des Tors. Nun der korrekte Vorgang: man muss auf jeden Fall wechseln, erst dann hat man die 66% Chance, wechselt man nicht, bleibt die Chance bei 33%.

Mathematisch ist alles korrekt und das zweifele ich auch nicht an. Praktisch gibt es keinen Vorteil. Den Grund habe ich schon genannt, eines der Tore mit einer der Ziegen war schon von Anfang an faktisch raus, also nicht wirklich in der Rechnung.

[jfheins]

Zitat:

Mikkey: Es gibt keine zwei Spiele, sondern die erste (alle bis auf die letzte) Auswahl ist sinnlos. Nur die letzte Auswahl entscheidet über den Gewinn. Daher ist immer die Chance 50:50.
Popov: Praktisch gibt es keinen Vorteil.

Es gibt keine zwei Spiele, aber die erste Auswahl ist auch nicht sinnlos. Die Chance auf einen Gewinn ist auch nicht 50:50. Und auch praktisch ist es von Vorteil das Tor zu wechseln. (Warum sollte hier ein Unterschied zwischen Theorie und Praxis auftreten??)

Vielleicht wird das an einem größeren Beispiel intuitiv klar. Nehmen wir an, wir spielen nicht mit 3 Toren sondern mit 1000.
Du suchst dir ein Tor aus, tendenziell erstmal zufällig. Der Quizmaster sagt jetzt "Aha, sie haben also Tor 249 ausgewählt. Ich zeige ihnen mal was..."
Und öffnet 998 Tore, hinter jedem ist ein Zonk/Ziege. Es bleiben also genau zwei geschlossen: Deines und ein anderes Tor. (sagen wir mal, Tor 647)

Jetzt fragt er dich, ob du wechseln möchtest. Möchtest du?

Popov und Mikkey, als Anhänger der "der Firlefanz ist egal, die Chancen sind 50:50" müsste jetzt kommen "Ist eigentlich wurscht." Aber ist es nicht sehr frappierend, dass der Quizmaster genau das Tor 647 geschlossen ließ?

In Tor 249 hat man jetzt eine 0,1% Chance auf den Preis, wenn man wechselt hat man eine 99,9% Chance. Das gleiche Prinzip gilt auch für die Fälle mit weniger Toren, auch für 3 Tore.

[BUG]

Zitat von jfheins:

Aber ist es nicht sehr frappierend, dass der Quizmaster genau das Tor 647 geschlossen ließ?

Dieser Satz hilft der Anschaulichkeit sehr auf die Sprünge

[Popov]

Es sind eben keine 1000 Tore, im Grunde waren es von Anfang an nur zwei Tore.

Der Aufbau ist sehr einfach. Reduziert man das Spiel auf das Wesentliche, bleibt das übrig:

Tor 1: Preis
Tor 2: Ziege
Tor 3: Ziege

Da es nur einen Preis und zwei Ziegen gibt und der Spielleiter später immer eine Ziege raus nimmt (eine der Zeigen, nicht ein x-beliebiges Tor), ergibt sich folgendes:

Tor 1: Preis
Tor 2: Ziege

Selbst wenn einer Tor 3 gewählt hätte, dann wäre eben Tor 2 raus. Wie auch immer, eines der Tore mit Ziege fliegt im zweiten Spiel raus. Da kann man ja gleich das Spiel um ein Tor reduzieren.

Nun kann der Spieler wählen, und das ist 50:50.

[jfheins]

Du reduziert zu viel, die Geschichte ist ganz wesentlich für die Gewinnchancen.

Kommt man in den Raum mit zwei geschlossenen Toren, weiß man es nicht besser als 50:50. Aber am Anfang hat man ja nur mit 33% richtig getippt, und diese Unsicherheit bleibt bestehen. Man könnte es auch so sehen: Du musst raten. Der Quizmaster muss genau das Tor geschlossen halten, hinter welchen der Gewinn ist. Wenn du wirklich rätst, dann hat er nur vielleicht die Chance ein beliebiges Tor geschlossen zu halten. (Weil du das mit dem Preis direkt getroffen hast)
Mit einer großen Wahrscheinlichkeit hat der Quizmaster einfach keine Wahl mehr und muss das Tor mit dem Preis geschlossen halten.

Da du da so schnell drüber gegangen bist, stell' dir doch wirklich nochmal den Fall mit 1000 Toren vor, bei dem 998 aufgehen. Würdest du danach immer noch sagen, dass beide Tore gleich wahrscheinlich den Preis enthalten?
Das Tor, dass du völlig hilflos aus 1000 Toren gewählt hast soll jetzt zu 50% den Preis enthalten?

Den Beweis hat du sicher schon gehört, aber hier nochmal in Kurzform: Preis ist immer in Tor 1. Ich wechsele immer das Tor.
Wähle ich Tor 1, verliere ich. Wähle ich Tor 2 gewinne ich. Wähle ich Tor 3, gewinne ich.
Klingt nach einer 66% Gewinnchance

Wie oben gesagt: Die Geschichte spielt eine Rolle. Wenn du erst zur Show kommst, wenn nur noch zwei Tore zu sind, dann kannst du nur 50:50 wählen. Ich würde aber dem Kandidaten 100€ zustecken, damit er mir das Tor verrät das er zuerst gewählt hat.

[Namenloser]

Zitat von jfheins:

Vielleicht wird das an einem größeren Beispiel intuitiv klar. Nehmen wir an, wir spielen nicht mit 3 Toren sondern mit 1000.
Du suchst dir ein Tor aus, tendenziell erstmal zufällig. Der Quizmaster sagt jetzt "Aha, sie haben also Tor 249 ausgewählt. Ich zeige ihnen mal was..."
Und öffnet 998 Tore, hinter jedem ist ein Zonk/Ziege. Es bleiben also genau zwei geschlossen: Deines und ein anderes Tor. (sagen wir mal, Tor 647)

Jetzt fragt er dich, ob du wechseln möchtest. Möchtest du?

Ohne Witz, die Erklärung ist besser als alles, was ich dazu je gehört habe.

Wir haben das in der Schule und ich glaube auch an der Uni schon mehrfach durchgekaut und mathematisch bewiesen. Formal war dann ja auch klar, dass es so sein muss, aber intuitiv hatte ich es ehrlich gesagt auch nie hundertprozentig verstanden. Jetzt schon

[himitsu]

Es sind vielleicht Psychologisch 66%, aber Real hast du immer eine 50:50-Chance, egal wieviele Tore es gibt.

Es kommt halt darauf an, wie gut du dich beeinflussen lässt, also ob du nachgiebst und die Tür tauschst, oder ob du fest bei deiner Entscheidung bleibst und die gewählte Tür behälst.


Am Ende landest du immer bei genau zwei Türen.
- entweder du behälst die Tür und gewinnst,
- du behälst die Tür und verlierst,
- du wechselst die Tür und gewinnst
- oder du wechselst und verlierst

2x gewinnen und 2x verlieren = 50:50



Aber, bei der Beurteilung des Ergebnisses, kommt es ebenfalls auf deinen Verstand, bzw. eher auf deine Gefühle drauf an.

Ärgert man sich mehr, wenn man gewechselt hat und sich dann fragt "Warum bist du nur so ein schwaches Weichei und hast nachgegeben?",
bzw. das beliebtere "Du Trottel, warum hast du getauscht? Du hattest den Gewinn doch shon in der Hand!"

oder ob dich das "Warum bist du nur so stur und hast nicht gewechselt? Der Typ hatte dir doch gesagt, daß du falsch liegst.".




Wer das gern per Programm nachprüffen will:

- Entweder mit einem ordentlichem Zufallsgenerator oft genug den Prozess durchlaufen lassen und zählen.
> gewonnen / verloren
> oder etwas detailierter: gewonnen+standhaft / zufälligGewonnen+beinflussbar / verloren+unnachgiebigerTrottel / verloren+weichei

- oder man geht mal schnell alle möglichen Varianten durch und zählt da ebenfalls mit.

Delphi-Quellcode:

for DieErsteTorWahl := 1 to 3 do
  for NachgebenUndTauschen := False to True do begin
    ...
  end;

PS: Selbst wenn man extrem beinflusbar oder extrem standhaft ist, es bleibt dennoch bei 50:50,
da jeweil die anderen Möglichkeiten wegfallen.

- entweder du behälst die Tür und gewinnst
- oder du behälst die Tür und verlierst

oder

- entweder du wechselst die Tür und gewinnst
- oder du wechselst und verlierst



Und falls man sich z.B. nur zu durchschnittlich 80% beeinflussen und zum Wechsel drängen lässt, dann bleibt es immernoch 50:50,
da 40:40 + 10:10 = 50:50 .