Ziegenproblem

[himitsu]

Egal was ich ausrechne, die "reale" Gewinnchance liegt immer bei 50:50. (man suche sich irgendeine Tür aus und dann wechsle man oder auch nicht)
Dabei ist es egal, ob man das Tor tauscht oder nicht.

Aber "gefühlt" liegt die Gewinnchance geringer, mit ihren 42:58 (gewinn:verlust),
wobei es bei 50:50 liegt, wenn man das Tor wechselt, und bei 33:66, wenn man das erste Tor behällt.

Grund:
Wenn man zu Anfang auf einem Tor mit Ziege steht, dann denkt man dennoch, daß sich hinter den beiden restlichen Toren je eine Ziege befinden könnte.
Der Moderator könnte also eine von beiden Türen öffnen. Aber da sich ja hinter Einer der Preis befindet, hat dort der Moderator keine 50:50-Auswahl, sondern er kann eben nur das eine Tor öffnen.
Es gibt also nur halb soviele Lösungen, wie man sich denkt, wenn man von Anfang an eine Tür mit Ziege gewählt hatte.

ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die eine Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die eine Tür und ich wähle darauf die andere Tür
ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die andere Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die andere Tür und ich wähle darauf auch die andere Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die eine Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die eine Tür und ich wähle darauf die andere Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die andere Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die andere Tür und ich wähle darauf auch die andere Tür






[edit]
Der große Witz ist aber, daß selbst wenn mann zu Anfang sich immer nur ein Tor auswählt (z.B. die 1),
dann hätte ich gedacht, daß dann die Gewinnchance bei 1:3 liegt, aber sie liegt dennoch bei 50:50.
Egal ob man danach die Tür wechselt oder auch nicht, es bleibt bei je 50:50.

Hab ich mich da jetzt doch verrechnet?
Gefühlt sind es natürlich immernoch die 33:66, wenn man fest bei seinem ersten Tor bleibt.
Glaub aber nicht, denn eigentlich hat man nur die Wahl zwischen "Richtig" (Gewinn) und "Falsch" (einer Ziege).

Das ist ja wie mit dem Doppelspalt in der Quantenphysik.
- wenn man hinguckt, ist es ein Partikel
- und eine Welle, wenn man nicht hinguckt

Eins von 3 Toren = 33:67,
aber wenn man sich zwischendurch eine Tür anguckt, werden es plöztlich 50:50.

[Namenloser]

Zitat von himitsu:

Grund:
Wenn man zu Anfang auf einem Tor mit Ziege steht, dann denkt man dennoch, daß sich hinter den beiden restlichen Toren je eine Ziege befinden könnte.
Der Moderator könnte also eine von beiden Türen öffnen. Aber da sich ja hinter Einer der Preis befindet, hat dort der Moderator keine 50:50-Auswahl, sondern er kann eben nur das eine Tor öffnen.
Es gibt also nur halb soviele Lösungen, wie man sich denkt, wenn man von Anfang an eine Tür mit Ziege gewählt hatte.

ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die eine Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die eine Tür und ich wähle darauf die andere Tür
ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die andere Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich gewinne letztendlich - der Moderator wählt die andere Tür und ich wähle darauf auch die andere Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die eine Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die eine Tür und ich wähle darauf die andere Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die andere Tür und ich bleib bei meiner Tür
ich bin voll der Looser - der Moderator wählt die andere Tür und ich wähle darauf auch die andere Tür

Diese Ereignisse sind aber nicht gleich wahrscheinlich, da liegt dein Fehler.

Und btw, „Loser“ schreibt man mit nur einem „o“ (das gleiche gilt für das zugehörige Verb).

[Amateurprofi]

@himitsu:
Ich denke du gehst das Problem viel zu kompliziert an.
Du wählst ein Tor und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 steht dahinter das Auto und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 eine Ziege.

Wenn du also bei deiner ursprünglichen Wahl bleibst, dann ist Deine Chance zu gewinnen 1/3.
Folglicherweise, wenn du wechselst, ist Deine Chance zu gewinnen 2/3.

Stell Dir das Spiel, etwas modifiziert so vor.
1) Du wählst am Anfang ein Tor.
2) Dann fragt der Moderator, ob Du nicht lieber die beiden anderen Tore haben möchtest.
Im Prinzip ist dies genau das, was abläuft.

Das ganze wird übrigens in dem im Artikel erwähnten Buch ("Das Ziegenproblem" von Gero von Randow, ISBN 3-499-19337-X) ausführlich und anschaulich beschrieben.

[himitsu]

Hmmmmmm, die äußeren Schleifen einfach gegen Zufallswerte ausgetauscht und nun kommt doch 2:3 raus, wenn man wechselt.
Außerdem die 1:3, wenn man nicht wechselt und 50:50, wenn man zufällig mal wechselt und mal wieder nicht.

Delphi-Quellcode:

  Randomize;
  for Count := 0 to 50000 do begin
    NoGoat    := Random(3) + 1;
    FirstDoor := Random(3) + 1;
    Change    := Boolean(Random(2));
    if FirstDoor = NoGoat then
      OpenSecond := Boolean(Random(2))
    else
      OpenSecond := False;

    ...

  end;

[Blup]

Noch ein Versuch der Erklärung, damit auch der letzte es versteht:

Jeder Fall hatt bei 3 Toren 1/3 Wahrscheinlichkeit einzutreten.

Code:

Tor      A B C
Fall 1:  X Z Z
Fall 2:  Z X Z
Fall 3:  Z Z X

Der Kandidat wählt z.B. Tor A und hat damit 1/3 Wahrscheinlichkeit zu gewinnen.
Die beiden anderen Tore jeweils ebenso.
Streicht der Moderator jetzt immer genau ein ungültiges Tor, das nicht gewählt wurde, sieht das Zwischenergebnis so aus:

Code:

Tor      A (B or C)
Fall 1:  X     Z
Fall 2:  Z     X
Fall 3:  Z     X

Die Wahrscheinlichkeit für Tor A ändert sich nicht, die Wahscheinlichkeit für die Tore B oder C hat sich jetzt aber auf ein Tor konzentriert.

[Popov]

Das ist schon richtig, wenn bestimmte Bedingungen vorliegen. Geht man davon aus, dass es drei Tore gibt und ein leeres wird geöffnet, ist es ein Geschenk. Nun hat man eine 2/3 Chance (eben das neue Tor plus das geschenkte Tor des Spielleiters). Das sind zwei Tore die man hat. Auf drei Tore betrachtet macht das 2/3.

Nur stellt sich aber die Frage ob sich die Chance auf den Gewinn steigert wenn man wechselt? Oder erhöhte sich die Wahrscheinlichkeit richtig zu liegen auf 2/3. Denn selbst wenn man nicht wechselt hat man eben das eigene Tor und das des Spielleiters. Auch 2/3.

[wolfgang_SV]

Antwort:

Wählt der Kandidat zuerst die Gewinntür (Wahrscheinlichkeit p = 1/3), so verliert er bei Änderung seiner Auswahl.
Steht aber hinter der anfangs gewählten Tür eine Ziege (p = 2/3), dann ist der Wechsel zur verbleibenden Tür stets erfolgreich.
Die Gewinnchance bei einem Türwechsel beträgt somit 2/3, andernfalls 1/3.

[himitsu]

Zitat von Popov:

Nur stellt sich aber die Frage ob sich die Chance auf den Gewinn steigert wenn man wechselt? Oder erhöhte sich die Wahrscheinlichkeit richtig zu liegen auf 2/3. Denn selbst wenn man nicht wechselt hat man eben das eigene Tor und das des Spielleiters. Auch 2/3.

Siehe Antwort #34.

[jobo]

Schon 4 Seiten! Ziegenprobleme werden offenbar überbewertet. Persönlich würde ich sie eher den Win-Zigen Problemen zuordnen.

Ach ja und falls es noch niemand geschrieben hat (ich hab nicht alles gelesen).
Es ist 50:50 weil nach der Auswahl des Moderators die Wahl zwischen 2 Toren übrig bleibt. Eine innerliche Vorwahl spielt dabei keine Rolle.

Spannend ist das ganze doch erst, wenn hinter der Moderatortür ein 2.Gewinn wartet, so wie es später auch in den Shows war. Und wenn man sehen kann, dass hinter den Toren nicht David Cooperfield dem Wagen umparkt usw usw.

[p80286]

Zitat von jobo:

Ach ja und falls es noch niemand geschrieben hat (ich hab nicht alles gelesen).
Es ist 50:50 weil nach der Auswahl des Moderators die Wahl zwischen 2 Toren übrig bleibt. Eine innerliche Vorwahl spielt dabei keine Rolle.

und ich dachte schon ich hätte etwas nicht verstanden!

Gruß
K-H