Ziegenproblem

[BUG]

Zitat von jfheins:

Aber ist es nicht sehr frappierend, dass der Quizmaster genau das Tor 647 geschlossen ließ?

Dieser Satz hilft der Anschaulichkeit sehr auf die Sprünge

[Popov]

Es sind eben keine 1000 Tore, im Grunde waren es von Anfang an nur zwei Tore.

Der Aufbau ist sehr einfach. Reduziert man das Spiel auf das Wesentliche, bleibt das übrig:

Tor 1: Preis
Tor 2: Ziege
Tor 3: Ziege

Da es nur einen Preis und zwei Ziegen gibt und der Spielleiter später immer eine Ziege raus nimmt (eine der Zeigen, nicht ein x-beliebiges Tor), ergibt sich folgendes:

Tor 1: Preis
Tor 2: Ziege

Selbst wenn einer Tor 3 gewählt hätte, dann wäre eben Tor 2 raus. Wie auch immer, eines der Tore mit Ziege fliegt im zweiten Spiel raus. Da kann man ja gleich das Spiel um ein Tor reduzieren.

Nun kann der Spieler wählen, und das ist 50:50.

[jfheins]

Du reduziert zu viel, die Geschichte ist ganz wesentlich für die Gewinnchancen.

Kommt man in den Raum mit zwei geschlossenen Toren, weiß man es nicht besser als 50:50. Aber am Anfang hat man ja nur mit 33% richtig getippt, und diese Unsicherheit bleibt bestehen. Man könnte es auch so sehen: Du musst raten. Der Quizmaster muss genau das Tor geschlossen halten, hinter welchen der Gewinn ist. Wenn du wirklich rätst, dann hat er nur vielleicht die Chance ein beliebiges Tor geschlossen zu halten. (Weil du das mit dem Preis direkt getroffen hast)
Mit einer großen Wahrscheinlichkeit hat der Quizmaster einfach keine Wahl mehr und muss das Tor mit dem Preis geschlossen halten.

Da du da so schnell drüber gegangen bist, stell' dir doch wirklich nochmal den Fall mit 1000 Toren vor, bei dem 998 aufgehen. Würdest du danach immer noch sagen, dass beide Tore gleich wahrscheinlich den Preis enthalten?
Das Tor, dass du völlig hilflos aus 1000 Toren gewählt hast soll jetzt zu 50% den Preis enthalten?

Den Beweis hat du sicher schon gehört, aber hier nochmal in Kurzform: Preis ist immer in Tor 1. Ich wechsele immer das Tor.
Wähle ich Tor 1, verliere ich. Wähle ich Tor 2 gewinne ich. Wähle ich Tor 3, gewinne ich.
Klingt nach einer 66% Gewinnchance

Wie oben gesagt: Die Geschichte spielt eine Rolle. Wenn du erst zur Show kommst, wenn nur noch zwei Tore zu sind, dann kannst du nur 50:50 wählen. Ich würde aber dem Kandidaten 100€ zustecken, damit er mir das Tor verrät das er zuerst gewählt hat.

[Namenloser]

Zitat von jfheins:

Vielleicht wird das an einem größeren Beispiel intuitiv klar. Nehmen wir an, wir spielen nicht mit 3 Toren sondern mit 1000.
Du suchst dir ein Tor aus, tendenziell erstmal zufällig. Der Quizmaster sagt jetzt "Aha, sie haben also Tor 249 ausgewählt. Ich zeige ihnen mal was..."
Und öffnet 998 Tore, hinter jedem ist ein Zonk/Ziege. Es bleiben also genau zwei geschlossen: Deines und ein anderes Tor. (sagen wir mal, Tor 647)

Jetzt fragt er dich, ob du wechseln möchtest. Möchtest du?

Ohne Witz, die Erklärung ist besser als alles, was ich dazu je gehört habe.

Wir haben das in der Schule und ich glaube auch an der Uni schon mehrfach durchgekaut und mathematisch bewiesen. Formal war dann ja auch klar, dass es so sein muss, aber intuitiv hatte ich es ehrlich gesagt auch nie hundertprozentig verstanden. Jetzt schon

[himitsu]

Es sind vielleicht Psychologisch 66%, aber Real hast du immer eine 50:50-Chance, egal wieviele Tore es gibt.

Es kommt halt darauf an, wie gut du dich beeinflussen lässt, also ob du nachgiebst und die Tür tauschst, oder ob du fest bei deiner Entscheidung bleibst und die gewählte Tür behälst.


Am Ende landest du immer bei genau zwei Türen.
- entweder du behälst die Tür und gewinnst,
- du behälst die Tür und verlierst,
- du wechselst die Tür und gewinnst
- oder du wechselst und verlierst

2x gewinnen und 2x verlieren = 50:50



Aber, bei der Beurteilung des Ergebnisses, kommt es ebenfalls auf deinen Verstand, bzw. eher auf deine Gefühle drauf an.

Ärgert man sich mehr, wenn man gewechselt hat und sich dann fragt "Warum bist du nur so ein schwaches Weichei und hast nachgegeben?",
bzw. das beliebtere "Du Trottel, warum hast du getauscht? Du hattest den Gewinn doch shon in der Hand!"

oder ob dich das "Warum bist du nur so stur und hast nicht gewechselt? Der Typ hatte dir doch gesagt, daß du falsch liegst.".




Wer das gern per Programm nachprüffen will:

- Entweder mit einem ordentlichem Zufallsgenerator oft genug den Prozess durchlaufen lassen und zählen.
> gewonnen / verloren
> oder etwas detailierter: gewonnen+standhaft / zufälligGewonnen+beinflussbar / verloren+unnachgiebigerTrottel / verloren+weichei

- oder man geht mal schnell alle möglichen Varianten durch und zählt da ebenfalls mit.

Delphi-Quellcode:

for DieErsteTorWahl := 1 to 3 do
  for NachgebenUndTauschen := False to True do begin
    ...
  end;

PS: Selbst wenn man extrem beinflusbar oder extrem standhaft ist, es bleibt dennoch bei 50:50,
da jeweil die anderen Möglichkeiten wegfallen.

- entweder du behälst die Tür und gewinnst
- oder du behälst die Tür und verlierst

oder

- entweder du wechselst die Tür und gewinnst
- oder du wechselst und verlierst



Und falls man sich z.B. nur zu durchschnittlich 80% beeinflussen und zum Wechsel drängen lässt, dann bleibt es immernoch 50:50,
da 40:40 + 10:10 = 50:50 .

[Popov]

@jfheins

Ich hab es schon beim ersten Mal verstanden, bzw. schon früher. Nur wie ich schon sagte, mathematisch ist das korrekt, das habe ich nie bezweifelt. Sieh dir mal das Programm an.

[Sir Rufo]

@jfheins

Ich wähle immer irgendein Tor (es ist mir zu dem Zeitpunkt egal und würde es auch von der Sockenfarbe des Moderators abhängig machen rot=1, schwarz=2, sonst=3) und erst wenn nur noch 2 Tore zur Auswahl stehen dann wähle ich bewusst.

Das klingt eher nach 50:50

Nein, einen mathematischen Beweis kann ich nicht bringen, sondern nur diese Alternativbetrachtung.

[himitsu]

Wer dachte auch, daß das noch kommen musste?
Mal ausrechnen, wie oft da mit Ja geantwortet wird.

http://www.youtube.com/watch?v=j9Au3g4bBL4

[Namenloser]

Nicht immer, wenn zwischen zwei Dingen eine Auswahl besteht, ist die Chance auch 50%

Die erste Auswahl ist tatsächlich sinnlos, man kann auch immer die erste Tür wählen, es ist egal, solange die Ziegen zufällig verteilt sind.

Fakt ist, wenn man die Auswahl nicht ändert, hat man eine Chance von 1/3. Ändert man die Wahl, hat man eine Chance von 2/3. Somit ist das natürlich nicht wirklich eine Wahl, da man immer wechselt (sofern einem das klar ist).

Wer es nicht glaubt, kann sich ja mal eine Tabelle mit allen möglichen Startkonfigurationen machen: Das ergibt eine 3×3-Tabelle (Position des Autos × zufällig ausgewählte Tür). Dann einfach mal durchzählen, wie oft man gewinnt, wenn man die Wahl ändert, und wie oft, wenn man sie nicht ändert. Ergibt ein Verhältnis von 2:1, und nicht 50:50.

[BUG]

Nochmal in kurz:
Die Wahrscheinlichkeit bei der ersten Runde richtig zu liegen ist 1/3.
Mit dem Wechseln gewinnst du immer, wenn du bei der ersten Runde falsch lagst: 1 - 1/3 = 2/3.

Dieses Problem ist nicht umsonst so bekannt. Selbst wenn man die richtige Lösung kennt, neigt man intuitiv zur falschen Annahme.