Rectangle finden, daß von 2 Punkten aufgespannt wird

[Namenloser]

Hä? Das ist doch überhaupt keine zusätzliche Information, egal welcher von beiden gemeint ist. Der Winkel ergibt sich ja allein schon aus den Positionen der beiden bekannten Eckpunkte. die beiden anderen können immer noch überall sein...

[Der schöne Günther]

Ach komm, es ist Freitag Abend
Da sind die grauen Zellen aufgebraucht.

[Bjoerk]

Zitat von sx2008:

Satz des Thales

Du nimmt den Mittelpunkt zwischen deinen Punkten P1 und P2.
Dann einen Kreis um diesen Mittelpunkt M ziehen der durch die Punkte P1 und P2.

Zwei beliebige gegenüberliegende Punkte P3 und P4 (ungleich P1 oder P2) wählen und schon hast du ein Rechteck.
Wenn P3 und P4 auf der Senkrechten von P1 und P2 liegen (und die Verbindungslinien sich im Punkt M schneiden) bekommt man ein Quadrat.

Ja, nur daß es nur ein P3 gibt das den Kreis bei Alpha schneidet.

[Bjoerk]

Zitat von Namenloser:

Hä? Das ist doch überhaupt keine zusätzliche Information, egal welcher von beiden gemeint ist. Der Winkel ergibt sich ja allein schon aus den Positionen der beiden bekannten Eckpunkte. die beiden anderen können immer noch überall sein...

Nee, das Rechteck ist schon eindeutig?

[Bjoerk]

-> Skizze

[jfheins]

Zitat:

Nee, das Rechteck ist schon eindeutig?

Nope. Der Winkel lässt sich doch aus den Punkten berechnen.

Aber aus deiner Skizze geht hervor, dass du den Winkel zwischen der horizontalen und der oberen Seite meinst. dann passt's.

Ich würde das Koordinatensystem um den Winkel drehen. Danach suchst du das achsparallele Rechteck und dreht die neuen zwei Punkte wieder zurück.
Die Formel kannst du dann auch in eine Zeile schreiben und schreiben "ist ja anschaulich korrekt"

Ich poste hier mal frech den MATLAB-Quellcode:

Code:

for phi = 0:0.01:2
   P1 = [1;4];
   P3 = [3;2];
   %phi = 0.5;

   R = [cos(phi), -sin(phi); sin(phi), cos(phi)];

   NewP = R * [P1,P3];
   P2 = R' * NewP([1; 4]);
   P4 = R' * NewP([3; 2]);

   plot([P1(1), P2(1), P3(1), P4(1), P1(1)], [P1(2), P2(2), P3(2), P4(2), P1(2)], 'o-'); daspect([1 1 1])
   xlim([-1 6]);
   ylim([-1 6])
   drawnow;
   pause(0.01)
end

Du siehst (vielleicht) dass ich die gegebenen Punkte P1 und P3 getauft habe. P2 errechnet sich dann nach R' * (xx(R*P1); yy(R*P2))
wobei xx(k) bedeuten soll "x-Komponente des Vektors k" und yy analog. R' ist die transponierte von R.
P4 = R' * (xx(R*P3); yy(R*P1))

[Bjoerk]

Dank Dir. Damit kann ich allerdings nix anfangen? Man braucht doch nur beta und gamma und alles ist gut (- > Skizze).

[Bjoerk]

Aus der Gerade P1P2 kann man den Winkel gegen die Horizontale berechnen. Diesen minus Alpha ist der Innenwinkel des Thaleskreisdreiecks P1 P3 P2 bei P1.
Aus Width^2 + Height^2 = (P1P2)^2 und Height / Width = tan(dieser Winkel) kann man W und H bestimmen. Damit hat man dann ein Rect und das bei P1 um Alpha gedreht ist das gesuchte Rect.
Oh man..

[Furtbichler]

Oder so:

Es geht eine Gerade K1=ax+b durch P1. a=ATN(Alpha)
Die zweite Gerade K2= durch P1 ist (-1/a)x + c
Ich kann nun b und c direkt ausrechnen (ich habe ja P1=(x1,y1)). Damit habe ich die Geradengleichungen der beiden Kanten, die von P1 ausgehen. K1 und K2 (K1 sei die Kante, die im Winkel Alpha zur Horizontalen steht)

Den gleichen Schmunz mache ich mit P2 und bekomme K3 und K4 (wobei K4 die Kante ist, die im Winkel Alpha zur Horizontalen steht).

Na, K3 schneidet K1 und K2 schneidet K4. Das ist ja wohl nicht so schwer, das dann auszurechnen. Somit habe ich die fehlenden Punkte P3 und P4, also nun alle Punkte des Rechteckes.

[jfheins]

Äh, ja man kann sich auch wieder mit Geradengleichungen und Steigungen herumärgern. (Und Sonderfälle für senkrechte Gerade einführen)

Ich habe mal die Formel oben einmal eingesetzt für den einen der zwei fehlenden Punkte. Mit c=cos(phi) und s=sin(phi) ergibt das:

P3x = c^2 P1x - c*s P1y + s^2 P2x + c*s P2y
P3y = -c*s P1x + s^2 P1y + c*s P2x + c^2 P2y

Man sieht: Es ändert sich eigentlich nur die Reihenfolge der Koeffizienten. Ich habe den Winkel jetzt (immernoch) phi genannt, in deiner Skizze ist es alpha. Der Tangens hat übrigens auch eine Unstetigkeitsstelle, da kann also auch NaN herauskommen. Ich glaube meine Lösung ist bisher die robustete.