Gleichung umformen

**Namenloser**

Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.

Was ist denn hier mit ∑ gemeint?

Zu der Sache mit Geraden als Kurven: Wenn damit gemeint ist, dass zwei unendlich lange Geraden sich schneiden, dann hab ich dazu einen etwas informellen Beweis: Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem durch jede Kante eine Gerade geht. Jetzt zieh an einer der Ecken des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Wenn du immer weiter ziehst, dann geht „offensichtlich“ der Winkel an der 3. Ecke gegen 90°. Da dann zwei Winkel 90° haben und die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, folgt daraus, dass der Winkel zwischen Hypothenuse und der längeren Kante des Dreiecks gegen 0 geht, und damit auch der Winkel zwischen den Geraden durch diese Kanten, was ja bedeutet, dass sie annähernd parallel werden (sieht man ja auch). Aber trotzdem schneiden sie sich ja per Definition...

Hier ist halt nur nicht bewiesen, dass der eine Winkel da wirklich gegen 90° geht. Allerdings ist mir die Konstruktion auch einfach so in der Mittelstufe eingefallen und ich hatte eigentlich nicht vor einen Beweis zu konstruieren, sondern wollte nur wissen, wo mein Denkfehler ist. So habe ich ausgesehen, als meine Mathelehrerin dann meinte, dass zwei Geraden sich wirklich im unendlichen schneiden:

**Medium**

Das ∑ ist ein großes Sigma und steht i.A. für die Summe über einen Term mit iterierbarem Anteil - in dem Fall i. Eigentlich schreibt man die Laufvariable mit Startwert unter das Sigma, und Zielwert darüber, aber ich glaube das Forum unterstützt keinen Tex-like Formelstring mit dem das hier so möglich gewesen wäre. Da steht also quasi "1+2+3+4+5+6+7+......=-1/12".

Zu deinem Beweis mit dem Dreieck: Eigentlich nicht. Da du die Geraden ja auseinander ziehst, streben sie unendlich nah an Parallelität. Das heisst, du hast dort einen Grenzprozess gegen unendlich, was aber nicht das selbe ist, wie zwei fertige stehende parallele Geraden.

Zur besseren Vorstellung: Die als Grenzprozess ausgeführte Nullstelle von f(x)=1/x ist entweder -inf oder +inf, je nach dem von welcher Seite du kommst. Grenzprozesse sind ein ganz eigenes Tierchen. Man müsste da schon anders dran gehen - die Annahme müsste z.B. lauten:
g1 := (0,0) + a(1,0)
g2 := (0,1) + b(1,0)
g1 ∩ g2 ≠ {} (g1 geschnitten g2 ungleich einer leeren Menge)

Dies müsste man auf mathematischem Weg beweisen, dann könnte man die Aussage "zwei Parallelen schneiden sich in der Unendlichkeit" gelten lassen zu können. Mit dem Dreieck wäre lediglich bewiesen, dass sich zwei Geraden, die gegen Parallelität streben sich im unendlichen schneiden. Tut mir leid, deiner Lehrerin da wiedersprechen zu müssen.

Letztlich aber hat das mit der Frage nach der "Kurve" nichts mehr am Hut denke ich. Vielleicht wäre es auch zunächst mal interessant zu erfahren, was Chris211183 für eine Definition von "Kurve" ansetzt. Das könnte ein nicht ganz unwichtiger Aspekt hier sein =)

**Namenloser**

Zitat von Medium:

Das ∑ ist ein großes Sigma und steht i.A. für die Summe über einen Term mit iterierbarem Anteil - in dem Fall i. Eigentlich schreibt man die Laufvariable mit Startwert unter das Sigma, und Zielwert darüber, aber ich glaube das Forum unterstützt keinen Tex-like Formelstring mit dem das hier so möglich gewesen wäre. Da steht also quasi "1+2+3+4+5+6+7+......=-1/12".

Ok, dann meintest du das doch so. Klingt für mich als wäre in dem Beweis ein Fehler. Wolfram Alpha sagt auch, dass das nicht konvergiert. Oder du beziehst dich auf irgendeinen sehr komischen Raum. Für ℕ kann das ja z.B. schon mal nicht stimmen, weil -1/12 kein Element von ℕ ist.

Zitat von Medium:

Zu deinem Beweis mit dem Dreieck: Eigentlich nicht. Da du die Geraden ja auseinander ziehst, streben sie unendlich nah an Parallelität. Das heisst, du hast dort einen Grenzprozess gegen unendlich, was aber nicht das selbe ist, wie zwei fertige stehende parallele Geraden.

Hmm nunja, aber was willst du sonst zeigen? Mit Unendlich als Zahl kannst du ja nicht rechnen, wie du selbst schon gesagt hast.

**Medium**

Das Ergebnis muss ja nicht immer in der selben Menge sein wie die Operanden. 13:4 ist auch nicht in N

. Und ja, es geht gegen jegliche Intuition - was aber nicht selten ist sobald Unendlichkeiten ins Spiel kommen. Eine Hand voll Beweise sind

hier zu finden. (Der ganze Kanal und alle weiteren von Brady sind unglaublich interessant und unterhaltsam!)

Und eben weil Unendlichkeit und Intuition nicht so toll zusammen gehen, würde ich ja gerne einen strikt mathematischen Weg wissen, wie zum einen die Kurven-Behauptung, sowie der Schnitt der Parallelen zu bestätigen wären. Aus Interesse! Solche Dinge unterhalten mich besser als jeder Werbungsdurchzogene Abendfilm im deutschen TV (wenn mal überhaupt einer kommt, und nicht das heute übliche Dumm-TV).
Dass man mit Unendlich nicht wie mit einer Zahl rechnen kann, hat bisher auch andere Beweise die sich damit beschäftigen nicht gestört. Man muss das Problem vermutlich, wie du es ja auch angegangen bist, umformulieren. Nur halt irgendwie so, dass die Natur des Problems dabei erhalten bleibt.

**Namenloser**

Ist wohl alles eine Definitionsfrage. Ich hab mir erst mal das 1-1+1-1+1...-Video angesehen, worauf der Beweis ja aufbaut. Aber auch da gibt er am Ende in irgendeinem Nebensatz zu, dass die 0.5 eigentlich kein richtiger Grenzwert ist. Da wurde jetzt halt einfach mal definiert, dass die Folge äquivalent zum Durchschnitt der Folgenglieder ist, so wie man sonst üblicherweise definiert, dass eine Folge äquivalent zu ihrem Grenzwert ist. Beides hat sicher seine Anwendungsfälle, je nachdem, was man damit modellieren will. Aber es ist schon etwas irreführend, so wie er es darstellt. Populärwissenschaft halt.

**Medium**

Deswegen wurden auch weitere Beweisansätze gezeigt. Da die aber etwas weiter ausholen und mit Schulmathe schwerer nachvollziehbar sind, wurde der Fokus denke ich sehr auf das Untereinanderschreiben der Summen gelegt. Und ja klar: Es ist eine Lösung, die auch von der Betrachtungsweise abhängt. Aber sie ist schlüssig beweisbar, wenn auch entgegen jeder Intuition. Und darum ging es mir eigentlich nur, nicht um eine Debatte um "-1/12"

**Namenloser**

Zitat von Medium:

Deswegen wurden auch weitere Beweisansätze gezeigt. Da die aber etwas weiter ausholen und mit Schulmathe schwerer nachvollziehbar sind, wurde der Fokus denke ich sehr auf das Untereinanderschreiben der Summen gelegt.

Das Problem ist weniger der Beweis an sich, sondern die Definition. Wenn a eine konvergente Folge ist, dann sagt man normalerweise per Konvention, dass a = der Wert, gegen den sie konvergiert.

Folgen, die nicht konvergieren, sind ja aber auch nicht ungewöhnlich, z.B. sin(x) konvergiert nicht. In solchen Fällen kann man aber z.B. trotzdem lim sup und lim inf bestimmen (für die +1-1-Folge auch). Wäre ja alles witzlos, wenn der Grenzwert das gleiche wäre wie der Durchschnitt.

In dem Video betonen sie öfter, dass das in der Physik verwendet wird. Das kann ich mir auch durchaus vorstellen, da man es in der Praxis sicher häufiger mit Zeitspannen zu tun hat. Wenn ich z.B. ein Foto aufnehme und während der Belichtungszeit das Licht immer ganz schnell an- und ausstelle, dann kriege ich ein halb belichtetes Bild. Dithering wäre also ein Anwendungsfall. Aber Physik ist eben nicht das gleiche wie Mathematik.

**Valle**

Zitat von Namenloser:

Aber es ist schon etwas irreführend, so wie er es darstellt. Populärwissenschaft halt.

Ich würde das gern etwas präzisieren: Es ist falsch.

Die Reihe divergiert, es existiert also kein Grenzwert. Und aus einer falschen Aussgae kann man bekanntlich alles herleiten.

(Mein laienhafter, vielleicht auch falscher Beweis warum das falsch ist: Die Summe s_1 = sum (-1)^n from n=0 to inf ist eine

geometrische Reihe. Der Qoutient (q) zweier benachbarter Folgenglieder der zugrundeliegenden Folge ist immer -1. Die Reihe hat also a_0 = 1 und q = -1. Da a_0 != 0 und |q| !< 1

divergiert die Reihe. Bitte korrigiert mich falls ich falsch liege.

)

Rein mathematisch ist das natürlich Quatsch, aber da die Realität zeigt, das das Ergebnis stimmt, ist das nicht 'falsch'. Es ist so, das die Summe wirklich -1/12 ist, wenn sie nicht blöderweise -rein mathematisch- nie zum Ende käme. Nun gibt es aber 'Unendlich' in der Physik nicht, weswegen man lustigerweise beobachten kann, das hier eben -1/12 herauskommt.

Es ist hier kein Glatteisbeweis, den die Oberschlauen durchschauen und als Blödsinn abtun können: Eine Reihe, bei der entweder 0 oder 1 rauskommt (je nachdem, ob Unendlich gerade oder Ungerade ist

) ist natürlich mit den Augen eines Physikers 0.5: Stellt euch mal das Ergebnis als kleine Kugel vor, die entweder 0 oder 1g schwer ist, aber immer abwechselnd, weil sie sich ja nicht direkt entscheiden kann (sie repräsentiert also die divergierende Reihe). Na ja. Legen wir das auf eine Waage, zeigt diese nun mal 0.5g an. Oder noch anschaulicher: Wir haben davon 1000, die intern über Dimensionsfalten und was weis ich ständig ultraleicht und dann wieder etwas schwerer werden (machen Atome ja nun mal so ähnlich). Die Teile wären dann in Summe 500g schwer: Durch 1000 geteilt macht eben 0.5g pro Kugel.

Die Mathematik ist an dieser Stelle ziemlich verlegen: An der Stelle, wo sie widersprüchlich würde (durch 0 Teilen, Unendlich, divergierende Reihen) sagt sie dann einfach: "Is nich definiert" und zieht sich somit aus der Affäre: Würde sie das nicht tun, wäre sie komplett für die Tonne.

**Medium**

Wenn ihr euch so gerne gegen eine Reihe gestandener Professoren der Mathematik und Physik aufbäumen wollt, gerne. Ich klinke mich dann an dieser Stelle aus, und nehme statt dessen einen der "besseren" Beweise, die ihr hier so ganz ohne böse Absicht aussen vor lasst

Ferne nehme ich mit, dass die DP nicht anders ist als alle anderen Foren auch: Man zieht sich an einem beiläufigen Nebensatz hoch, der nicht mehr als "Flavor" war, und bloß mein Interesse an scheinbar unsinnigen Aussagen, die sich aber sehr wohl zeigen lassen demonstrieren sollte. Ihr dürft dann gerne weiter spielen, ich suche mir meine Antwort halt selbst.