Gleichung umformen

[Medium]

Zitat:

jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !

Hierzu würde ich gerne mal einen Beweis sehen. Nicht um überheblich zu klingen, sondern weil mich es echt interessieren würde. (Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.)

[Sir Rufo]

Zitat von Medium:

Zitat:

jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !

Hierzu würde ich gerne mal einen Beweis sehen. Nicht um überheblich zu klingen, sondern weil mich es echt interessieren würde. (Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.)

Nimm dir einen beliebigen Punkt im Abstand ∞ zur Geraden.
Dann ist der Abstand von diesem Punkt zu jedem Punkt auf der Geraden auch ∞.
Daraus folgt, dass die Gerade in diesem Fall eine Kurve sein muss

Oder andersherum, der Kurvenradius einer Geraden ist ∞

[Medium]

Das würde ja voraussetzen, dass ∞ eine Zahl ist, mit der ich konkrete Abstandsbestimmungen durchführen könnte. Da aber doch selbst "∞-∞ := undefined" gilt (und jede andere triviale Operation mit ∞ als Operand ebenso), kann dies nicht wirklich der Beweis sein. Das muss anders gehen.
Sprachlich leuchtet die Begründung ein, aber selbst da ist es noch immer "nur" eine Begründung. Kein Beweis, wie ich ihn mir jetzt vorgestellt hatte. Ich würde hier gerne doch wirklich mathematische eindeutige Terminologie sehen, kein Deutsch.

Der Kurvenradius ist schon eine gute Sache, aber das sagt noch immer nicht, warum eine Gerade dann gerade in der Unendlichkeit erst eine Kurve ist. Die Strecke (0,0)(0,1) hat denselben Kurvenradius.

[Sir Rufo]

Wenn die Gerade in der Unendlichkeit eine Kurve ist, dann sind die Teilmengen der Geraden (=Strecken) das ebenfalls

[Namenloser]

Zitat von Medium:

Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.

Was ist denn hier mit ∑ gemeint?

Zu der Sache mit Geraden als Kurven: Wenn damit gemeint ist, dass zwei unendlich lange Geraden sich schneiden, dann hab ich dazu einen etwas informellen Beweis: Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem durch jede Kante eine Gerade geht. Jetzt zieh an einer der Ecken des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Wenn du immer weiter ziehst, dann geht „offensichtlich“ der Winkel an der 3. Ecke gegen 90°. Da dann zwei Winkel 90° haben und die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, folgt daraus, dass der Winkel zwischen Hypothenuse und der längeren Kante des Dreiecks gegen 0 geht, und damit auch der Winkel zwischen den Geraden durch diese Kanten, was ja bedeutet, dass sie annähernd parallel werden (sieht man ja auch). Aber trotzdem schneiden sie sich ja per Definition...

Hier ist halt nur nicht bewiesen, dass der eine Winkel da wirklich gegen 90° geht. Allerdings ist mir die Konstruktion auch einfach so in der Mittelstufe eingefallen und ich hatte eigentlich nicht vor einen Beweis zu konstruieren, sondern wollte nur wissen, wo mein Denkfehler ist. So habe ich ausgesehen, als meine Mathelehrerin dann meinte, dass zwei Geraden sich wirklich im unendlichen schneiden:

[Medium]

Das ∑ ist ein großes Sigma und steht i.A. für die Summe über einen Term mit iterierbarem Anteil - in dem Fall i. Eigentlich schreibt man die Laufvariable mit Startwert unter das Sigma, und Zielwert darüber, aber ich glaube das Forum unterstützt keinen Tex-like Formelstring mit dem das hier so möglich gewesen wäre. Da steht also quasi "1+2+3+4+5+6+7+......=-1/12".

Zu deinem Beweis mit dem Dreieck: Eigentlich nicht. Da du die Geraden ja auseinander ziehst, streben sie unendlich nah an Parallelität. Das heisst, du hast dort einen Grenzprozess gegen unendlich, was aber nicht das selbe ist, wie zwei fertige stehende parallele Geraden.

Zur besseren Vorstellung: Die als Grenzprozess ausgeführte Nullstelle von f(x)=1/x ist entweder -inf oder +inf, je nach dem von welcher Seite du kommst. Grenzprozesse sind ein ganz eigenes Tierchen. Man müsste da schon anders dran gehen - die Annahme müsste z.B. lauten:
g1 := (0,0) + a(1,0)
g2 := (0,1) + b(1,0)
g1 ∩ g2 ≠ {} (g1 geschnitten g2 ungleich einer leeren Menge)

Dies müsste man auf mathematischem Weg beweisen, dann könnte man die Aussage "zwei Parallelen schneiden sich in der Unendlichkeit" gelten lassen zu können. Mit dem Dreieck wäre lediglich bewiesen, dass sich zwei Geraden, die gegen Parallelität streben sich im unendlichen schneiden. Tut mir leid, deiner Lehrerin da wiedersprechen zu müssen.

Letztlich aber hat das mit der Frage nach der "Kurve" nichts mehr am Hut denke ich. Vielleicht wäre es auch zunächst mal interessant zu erfahren, was Chris211183 für eine Definition von "Kurve" ansetzt. Das könnte ein nicht ganz unwichtiger Aspekt hier sein =)

[Namenloser]

Zitat von Medium:

Das ∑ ist ein großes Sigma und steht i.A. für die Summe über einen Term mit iterierbarem Anteil - in dem Fall i. Eigentlich schreibt man die Laufvariable mit Startwert unter das Sigma, und Zielwert darüber, aber ich glaube das Forum unterstützt keinen Tex-like Formelstring mit dem das hier so möglich gewesen wäre. Da steht also quasi "1+2+3+4+5+6+7+......=-1/12".

Ok, dann meintest du das doch so. Klingt für mich als wäre in dem Beweis ein Fehler. Wolfram Alpha sagt auch, dass das nicht konvergiert. Oder du beziehst dich auf irgendeinen sehr komischen Raum. Für ℕ kann das ja z.B. schon mal nicht stimmen, weil -1/12 kein Element von ℕ ist.

Zitat von Medium:

Zu deinem Beweis mit dem Dreieck: Eigentlich nicht. Da du die Geraden ja auseinander ziehst, streben sie unendlich nah an Parallelität. Das heisst, du hast dort einen Grenzprozess gegen unendlich, was aber nicht das selbe ist, wie zwei fertige stehende parallele Geraden.

Hmm nunja, aber was willst du sonst zeigen? Mit Unendlich als Zahl kannst du ja nicht rechnen, wie du selbst schon gesagt hast.

[Medium]

Das Ergebnis muss ja nicht immer in der selben Menge sein wie die Operanden. 13:4 ist auch nicht in N . Und ja, es geht gegen jegliche Intuition - was aber nicht selten ist sobald Unendlichkeiten ins Spiel kommen. Eine Hand voll Beweise sind hier zu finden. (Der ganze Kanal und alle weiteren von Brady sind unglaublich interessant und unterhaltsam!)

Und eben weil Unendlichkeit und Intuition nicht so toll zusammen gehen, würde ich ja gerne einen strikt mathematischen Weg wissen, wie zum einen die Kurven-Behauptung, sowie der Schnitt der Parallelen zu bestätigen wären. Aus Interesse! Solche Dinge unterhalten mich besser als jeder Werbungsdurchzogene Abendfilm im deutschen TV (wenn mal überhaupt einer kommt, und nicht das heute übliche Dumm-TV).
Dass man mit Unendlich nicht wie mit einer Zahl rechnen kann, hat bisher auch andere Beweise die sich damit beschäftigen nicht gestört. Man muss das Problem vermutlich, wie du es ja auch angegangen bist, umformulieren. Nur halt irgendwie so, dass die Natur des Problems dabei erhalten bleibt.

[Namenloser]

Ist wohl alles eine Definitionsfrage. Ich hab mir erst mal das 1-1+1-1+1...-Video angesehen, worauf der Beweis ja aufbaut. Aber auch da gibt er am Ende in irgendeinem Nebensatz zu, dass die 0.5 eigentlich kein richtiger Grenzwert ist. Da wurde jetzt halt einfach mal definiert, dass die Folge äquivalent zum Durchschnitt der Folgenglieder ist, so wie man sonst üblicherweise definiert, dass eine Folge äquivalent zu ihrem Grenzwert ist. Beides hat sicher seine Anwendungsfälle, je nachdem, was man damit modellieren will. Aber es ist schon etwas irreführend, so wie er es darstellt. Populärwissenschaft halt.

[Medium]

Deswegen wurden auch weitere Beweisansätze gezeigt. Da die aber etwas weiter ausholen und mit Schulmathe schwerer nachvollziehbar sind, wurde der Fokus denke ich sehr auf das Untereinanderschreiben der Summen gelegt. Und ja klar: Es ist eine Lösung, die auch von der Betrachtungsweise abhängt. Aber sie ist schlüssig beweisbar, wenn auch entgegen jeder Intuition. Und darum ging es mir eigentlich nur, nicht um eine Debatte um "-1/12"