Gleichung umformen

[Bjoerk]

Kann mir ja jemand mal bitte helfen? Ich suche den Schnittpunkt von Gerade und Ellipse.
Hierzu muß ich diese Formel (***) in eine ax^2 + bx + c Gleichung umformen. Ich schaffs nicht (mehr).

Delphi-Quellcode:

  XLine1, YLine1, XLine2, YLine2, // Rect Gerade
  aLine, bLine, // Geradengleichung
  XEllipse1, YEllipse1, XEllipse2, YEllipse2, // Rect Ellipse
  X, Y, // Mittelpunkt Ellipse
  aEllipse, bEllipse: double; // Ellipsengleichung
begin
  X := (XEllipse2 + XEllipse1) / 2;
  Y := (YEllipse2 + YEllipse1) / 2;
  aEllipse := (XEllipse2 - XEllipse1) / 2;
  bEllipse := (YEllipse2 - YEllipse1) / 2;
  XLine1 := XLine1 - X;
  YLine1 := YLine1 - Y;
  XLine2 := XLine2 - X;
  YLine2 := YLine2 - Y;
  bLine := YLine1 - XLine1 * (YLine2- YLine1) / (XLine2 - XLine1);
  aLine := -YLine1 / ((YLine2- YLine1) / (XLine2 - XLine1)) - XLine1;

  // Line(x, y) = x / aLine + y / bLine = 1;
  // -> y = bLine * (1 - x / aLine);

  // Ellipse(x, y) = x^2 / aEllipse^2 + y^2 / bEllipse^2 = 1;
  -> x^2 / aEllipse^2 + (bLine * (1 - x / aLine))^2 / bEllipse^2 = 1; // ***

[Uwe Raabe]

Zunächst einmal bekommst du ein Problem, wenn die Gerade senkrecht (oder auch nur fast senkrecht) ist. Den Fall musst du abfangen.

Als Tip für die Ellipse: Du machst ja bereits eine Transformation so daß der Mittelpunkt der Ellipse den Nullpunkt darstellt. Wenn du jetzt noch eine Transformation machst, die eine Ellipse in einen Einheitskreis verwandelt, wird die Berechnung der Schnittpunkte (es gibt 0..2) einfacher. Nur nicht vergessen, am Ende wieder zurückzutransformieren.

[Namenloser]

Schon lange keine Geometrieaufgabe mehr gerechnet, deshalb habe ich mich mal dran versucht. Habe aber nicht überprüft, ob es stimmt, ohne Gewähr...

Die Gerade wird angegeben durch einen Punkt, der auf der Geraden liegt (s), und einen Richtungsvektor (v). Der Kreis liegt im Ursprung und hat den Radius 1.

[Bjoerk]

OK. Das hab ich ja auch befürchtet, daß man die Fälle 90/180° abfangen muß. Außerdem gibt's ja noch Pie und Arc Schnittpunkte zu berechnen. Dann lass ich's lieber so wie ich’s hab (Berechnung der Schnittpunkte für Ellipse und Co. temporär in Polygon umwandeln und IntersectLines). Thanx!

[Namenloser]

Wenn man mit Vektoren rechnet (siehe meine Lösung), muss man nichts abfangen.

[Chris211183]

es kommt immer darauf an, wie man die Koordinaten einer Geraden beschreibt, jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !
Ich würd es auch auch meinem Vorredner nachmachen, wobei man bei einer Ellipse darauf achten muss, dass ein kreis auch eine Ellipse ist

vielleicht hilft Dir das weiter...

[Bjoerk]

Hätte nicht gedacht daß die Ellipse so viel komplizierter ist wie ein Kreis? Ist es möglich diese Gleichung nach Alpha umzustellen?

Phi = (B * Sin(Alpha)) / (A * cos(Alpha))

[Panthrax]

Alpha := ArcTan(Phi * A / B); , in Rad, A <> 0, B <> 0.

[BUG]

Zitat von Panthrax:

Alpha := ArcTan(Phi * A / B); , in Rad, A <> 0, B <> 0.

Lässt sich übrigens auch über Wolfram Alpha rauskriegen
solve Phi = (B * Sin(Alpha)) / (A * cos(Alpha)) for alpha

[Bjoerk]

Ok. Vielen Dank. Man macht das wohl noch anders.. Weiß jemand wie diese Formel für p^2 zu benutzen ist, falls b > a?

// Edit

Also das mein ich:

Delphi-Quellcode:

    Eps :=  Sqrt(A * A - B * B) / A;
    ACos := Cos(DegToRad(Phi));
    ASin := Sin(DegToRad(Phi));
    P := Sqrt(B * B / (1 - Eps * Eps * ACos * ACos));
    X := X1 + P * ACos;
    Y := Y1 + P * ASin;