Gleichung umformen

[Namenloser]

In welcher Form hast du die Ellipse gegeben? Also welche Parameter sind bekannt? Was genau willst du machen?

[Bjoerk]

Mit den geposteten Formeln kannst du sozusagen Canvas.Arc P3 und P4 exakt ermitteln, wenn du zwei Winkel vorgibst. Der Sinn des Ganzen besteht darin Arc oder Pie als Polygon zu erfassen (for Phie = StartWinkel to EndWinkel). X1, Y1 ist der Mittelpunkt und a bzw. b die Radien der Ellipse. Das Ganze funktioniert halt nur nicht, wenn die Ellipse in der 2. Hauptlage vorliegt (a < b), dann gelten diese Formeln nicht. Ich kann es auch so machen, daß ich intern die Ellipse drehe und wieder zurück. Wollte nur mal nachfragen?

[Namenloser]

Was ist denn für dich ein Winkel bei einer Ellipse? Mal angenommen, die Ellipse ist doppelt so breit wie hoch, wo ist jetzt 45°? Kannst du eine Skizze machen?

[Furtbichler]

Seit ihr nicht etwas vom Thema abgekommen?

Ich hab gestern wieder etwas darüber gesehen (Summe 1-1+1-1...):

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das auszurechnen. Die erste ist die, eine Formel zu finden, die die Summe S(n) für die Werte von 1..n ausrechnet. Im Idealfall hätte man eine Konstante C und einen von n abhängigen Anteil. Also
Summe(1..n)= C+f(n). Wenn man beweisen kann, das f(n) gegen 0 geht, hat man gewonnen. Z.B. bei der Reihe 1/2 + 1/4 +1/8... ist C=1 und f(n)=1/(2^n). Wenn n => unendlich geht, geht f(n)= 1/(2^n) gegen 0. Der Grenzwert ist also C=1. Das klappt bei unserer Reihe natürlich nicht.

Aber es gibt auch eine andere Möglichkeit: Man kann sich den Durschnitt aller Teilsummen [S(1)..S(n)] nehmen. Das ergibt eine neue Reihe, die so aussieht:
S1/1, (S1+S2)/2, (S1+S2+S3)/3..., (S1+S2+S3...+Sn)/n
Und wenn diese Reihe konvergiert, dann ist der Grenzwert eben genau die ursprüngliche Reihensumme. Für unsere Summe ergibt das ...
S1=1 (1)
S2=0 (1-1)
S3=1 (1-1+1)
...
Nun bilden wir den Durschnitt der ersten n Summen:
....
Für n=1 hätten wir [1]/1 = 1
Für n=2 hätten wir [1+0]/2 = 1/2 (also (S1+S0)/2)
Für n=3 hätten wir [1+0+1]/3 = 2/3
Für n=4 hätten wir [1+0+1+0]/4 = 2/4
Für n=10 hätten wir [1+0+1+0+1+0+1+0+1+0]/10= 5/10
Für n=11 hätten wir [1+0+1+0+1+0+1+0+1+0+1]/11= 5/11
...
Für n=1000 hätten wir [1+0....+1]/1000 = 500/1000
Für n=1001 hätten wir [1+0....+1+0]/1001=500/1001
Hmm. Offenbar pendeln sich die Teilsummen bei 1/2 ein (mal etwas mehr, mal genau). Der Durschnitt der ersten 1001 Teilsummen ist schon fast 1/2.. !?

Allgemein gesehen bekommen wir für wachsende n abwechselnd 1/2 bzw 1/2 + 1/2n. Nun geht aber 1/2n für wachsende n gegen 0. Also werden wir für n=> unendlich bei 1/2 landen. Zwangsweise.
q.e.d
Je größer n wird, desto näher liegen zwei Teilsummen beieinander und insgesammt bei 1/2. Wie kann es dann sein, das die Teilsumme bei n=unendlich plötzlich einen großen Sprung macht? Es ist doch eher so, das man annehmen kann, das sich die Summe für n=>unendlich bei 1/2 einpendelt. Was spricht dagegen?

[Mikkey]

Zitat von Furtbichler:

Seit ihr nicht etwas vom Thema abgekommen?

Ich hab gestern wieder etwas darüber gesehen (Summe 1-1+1-1...):

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das auszurechnen. Die erste ist die, eine Formel zu finden, die die Summe S(n) für die Werte von 1..n ausrechnet. Im Idealfall hätte man eine Konstante C und einen von n abhängigen Anteil.

Nö, die Summe S(n), die nach n Elementen Deiner Summe beendet ist, ergibt sich zu

Code:

S(n) = n MOD 2

Als Reihe konvergiert die Folge -1^i (i=0,1,2..) nicht,
ebensowenig wie die Folge 1/i (i=1,2,3...) obwohl die Folge selbst gegen Null konvergiert.

Denn

Zitat von Furtbichler:

Wenn man beweisen kann, das f(n) gegen 0 geht

ist nur notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

[Bjoerk]

Here we go. Ich hoffe du kannst meine Sauklaue lesen..
BTW, kann man diese Diskussion mal abtrennen?

Edit: In der Skizze muß es nautürlich a > b heißen.

[Namenloser]

Danke, aber was ich eigentlich meinte, war, wie ich mir das „Koordinatensystem“ der Winkel vorzustellen habe.

Eine Ellipse ist ja ein gestauchter Kreis. Jetzt könnte man sich zwei Varianten vorstellen.

Variante 1: Ich zeichne bei einem Kreis einen 45°-Winkel ein, bzw. setze an der entsprechenden Stelle einen Punkt. Anschließend stauche ich den Kreis zur Ellipse und nehme den Punkt dabei mit.
Variante 2: Ich zeichne die Ellipse und berechne ihren Schnittpunkt mit einer 45°-Geraden (also einer Winkelhalbierenden des Koordinatensystems).

Bei beiden Varianten kommen unterschiedliche Punkte heraus.

Mir ist nicht klar, was von beidem du meinst, und in deiner Skizze ist es mir leider nicht klar.

Der Hintergrund für die Frage war, dass mir diese Formeln reichlich kompliziert erscheinen, und ich die Vermutung habe, dass man das Problem durch ein paar Transformationen erheblich vereinfachen könnte.

[Desmulator]

Um noch einen Beweis für die Divergenz der Reihe 1/n zu liefern.
Es sei zu bemerken: konvergente Reihe => Cauchy-Folge (der Abstand von Folgegliedern konvergiert gegen 0).
Wir zeigen nun, dass die Reihe 1/n keine Cauchy-Folge ist und somit insbesondere auch keine konvergente Folge sein kann, obwohl 1/n gegen 0 konvergiert.

Sei s_n die n-te Partialsumme. (Also die Summe von i = 1 bis n)
Wir erkennen s_2n - s_n = 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n >= n*(1/2n) = 1/2
Es folgt also, dass der Abstand zwischen bestimmen Folgegliedern nicht beliebig klein wird. Somit kann es keine Cauchyfolge sein und letztlich auch keine konvergente Folge. Die Bedingung a_n -> 0 ist also nur eine notwendige Bedingung und das auch nur für absolut konvergente Folgen. Schließlich kennt ja jeder den Umordnungssatz von Riemann, nachdem konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihen so umgeordnet werden können, dass jeder beliebige Wert als Grenzwert angenommen wird.

[Offtopic]
Wo wir gerade bei Mathe sind:
Es sei Z := {(x, y, z) ∈ ℝ³: x²+y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤1} offensichtlich ein Zylinder (!).
Berechne das Intergal auf Z über z*exp(-z(x²+y²)).
Ich biete -e*π/2...?

[Bjoerk]

Zitat von Namenloser:

Danke, aber was ich eigentlich meinte, war, wie ich mir das „Koordinatensystem“ der Winkel vorzustellen habe.

Ich weiß leider nicht wie ich es dir noch verständlicher machen soll? Der Vektor P beschreibt die Punkte der Ellipse in Polarkoordinaten.

E(X, Y) = f(Phi, P) , Phi 0 .. 360 , bzw. bei Arc Phie = Alpha .. Alpha + Beta

Zur Berechnung der Länge von P wird als Hilfswert der Abstand e der Brennpunkte vom Mittelpunkt berechnet:

e = Sqrt(a^2 – b^2). Daraus folgt, daß a > b sein muß.
Was ist aber wenn a < b? Das ist nun meine Frage? Verstanden?

Ich hatte doch darum geben, daß diese Diskussion vom Thread abgetrennt wird, weil sie mit meiner Frage nichts zu tun hat?

[Namenloser]

Zitat von Bjoerk:

Zitat von Namenloser:

Danke, aber was ich eigentlich meinte, war, wie ich mir das „Koordinatensystem“ der Winkel vorzustellen habe.

Ich weiß leider nicht wie ich es dir noch verständlicher machen soll? Der Vektor P beschreibt die Punkte der Ellipse in Polarkoordinaten.

Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden. Polarkoordinaten, okay.

Also ich denke, es ist einfacher, die ganze Konstruktion so zu transformieren, dass es auf die Schnittpunktberechnung eines Kreises mit einer (Ursprungs-)Geraden hinausläuft. Anschließend transformiert man dann zurück, und dann kann man die Polarkoordinaten bestimmen. Jedenfalls würde ich es so machen. Es sollte dabei dann auch egal sein, ob a oder b größer ist.

Ich hoffe, man kann die Skizze im Anhang erkennen.

Ich frage mich nur... wozu braucht man das?