Regression / Abstand zu Punkten

[Furtbichler]

Das Integral soll nicht null werden, sondern so klein wie möglich, oder? Ansonsten: Weiter so!

[jfheins]

Zitat von Furtbichler:

Das Integral soll nicht null werden, sondern so klein wie möglich, oder?

Zum Glück als Frage, von daher: Nein!

Die Fläche des Integral ist ja vorzeichenbehaftet. Wenn ich das hier richtig interpretiere:

Zitat:

Gesucht also jene Gerade, bei der die Differenz der Summen der gelben und hellblauen Flächen möglichst klein ist.

Dann meinst er den Absolutbetrag der Differenz. Und der wird minimal gleich Null.

Ansonsten dürfte die Differenz gegen minus unendlich gehen - das ist aber keine zufriedenstellenden Lösung.

Oben habe ich jedoch noch einen klitzekleinen Denkfehler gemacht: Nicht die beiden Integrale sollen gleich werden, sondern das Integral der Differenz soll 0 werden!

für y=m*(x-d) + e und y=a*x^2+b*x+c ergibt sich somit: integrate(a*x^2 + (b-m) * x + c + m*d - e) (x, 0, 2) = 0
das ergibt: a*(8/3 - 2*d^2) - 2*(d-1)*(b-m) = 0 für d <> 1.

Alles natürlich ohne Gewähr

[Furtbichler]

Aber die Fläche soll doch minimiert werden und sich nicht bezüglich 'oberhalb' und 'unterhalb' der Geraden aufheben, oder ist das das gleiche? Ach so...

[BUG]

Wenn die Flächen nur durch die Gerade und die Parabel begrenzt sind, sollten die gelben Flächen unendlich groß sein.
Damit macht die Frage nicht viel Sinn ... oder habe ich da irgendwas übersehen

Ich vermute mal, dass der gezeigte Ausschnitt (auf dem Bild) auch eine Begrenzung darstellt.
Dann stellt sich die Frage, ob es vielleicht viele solche Geraden gibt und ob da eine Bestimmte gesucht ist.
jfheins legt zusätzlich noch einen Punkt fest ... vielleicht hast du ja eine andere Beschränkung? Es fehlen also Details.

[Furtbichler]

Wir haben Stützwerte und ich würde annehmen, das es darum geht, die Fläche im Interval x1..xn zu minimieren. Das macht zumindest meine Frickeliteration.

[cltom]

vielen dank für die Antworten. Die analytischen Ansätze muss ich mir mal durchsehen. Als Zwischenbericht von meiner Seite: nach einigen Stunden mit realen Daten bin ich mittlerweile der Überzeugung, dass eine lineare Regression durch die Daten im betreffenden Parabelabschnitt ausreichen müsste. Die Daten streuen so sehr, dass die theoretische Forderung nach den gleich großen Integralen in der Praxis kaum Gewicht hat. Da muss ich mich mehr um die Frage kümmern, welche von den Messadaten ich überhaupt nehme ...

Zitat von BUG:

Wenn die Flächen nur durch die Gerade und die Parabel begrenzt sind, sollten die gelben Flächen unendlich groß sein.
Damit macht die Frage nicht viel Sinn ... oder habe ich da irgendwas übersehen

Ich vermute mal, dass der gezeigte Ausschnitt (auf dem Bild) auch eine Begrenzung darstellt.
Dann stellt sich die Frage, ob es vielleicht viele solche Geraden gibt und ob da eine Bestimmte gesucht ist.
jfheins legt zusätzlich noch einen Punkt fest ... vielleicht hast du ja eine andere Beschränkung? Es fehlen also Details.

hmm, hoffe eigentlich nicht, dass etwas fehlt. Warum sollten die gelben Flächen unendlich groß sein? Die Gerade liegt über oder unter der Parabel (je nach betrachtetem Intervall). Und in jedem Fall kann ich eine endliche Differenz zwischen einer Geradenfunktion und einer Parabelfunktion ausrechnen. Und auch das Integral ist in einem beschränkten Intervall endlich. Vielleicht war das offen. Es geht um einen diskreten Abschnitt der Parabel, nicht um den gesamten Verlauf von minus unendlich bis plus unendlich.

Zu ein paar anderen Fragen: die Bedingung, dass die gelben und blauen Flächen gleich sind, würde ich auch so auslegen, dass die Differenz der Integrale nicht Null ist, sondern nur möglichst klein.

[bernhard_LA]

unter
http://www.tu-ilmenau.de/num/team/we...publikationen/

gibt Algorithmen zu diesem Problem ( Kapitel 8 )

[jfheins]

Zitat von BUG:

jfheins legt zusätzlich noch einen Punkt fest ... vielleicht hast du ja eine andere Beschränkung? Es fehlen also Details.

Ja, das stand hier:

Zitat von cltom:

Was ich nicht beachtet/erwähnt hatte, was das Problem etwas vereinfacht: es ist ein Punkt der Geraden bekannt, nämlich ein bestimmter Punkt auf der Parabel (der sich aus einer anderen Bedingung ergibt), dh. man braucht im Grunde nur die Steigung variieren.

Zitat:

Zu ein paar anderen Fragen: die Bedingung, dass die gelben und blauen Flächen gleich sind, würde ich auch so auslegen, dass die Differenz der Integrale nicht Null ist, sondern nur möglichst klein.

Du bist da einfach zu zurückhaltend
Die Forderung "Differenz möglichst klein" führt zunächst einmal zu einer Differenz gegen unendlich. Die Forderung "Betrag der Differenz möglichst klein" führt dann direkt zu dieser Gleichung:

minimiere abs(a*(8/3 - 2*d^2) - 2*(d-1)*(b-m))

Der Inhalt des Betrags für (beispielsweise d=0) ist dann (a*(8/3) + 2*b - 2*m)) und nimmt damit für m in ℝ ebenfalls Werte aus ganz ℝ an.

Aus dem Zwischenwertsatz folgt damit unmittelbar, dass es einen Wert m gibt, der den Betrag zu 0 werden lässt.

Die Forderung "Betrag minimal" ist also eine Formulierung, die durch "Betrag gleich 0" präzisiert werden kann ohne die Lösungsmenge einzuschränken.

Anschaulich gesprochen: Für eine Gerade mit einer Steigung gegen unendlich wird die Fläche (Parabel-gerade) sehr negativ. Für eine Steigung gegen minus unendlich wird sie sehr positiv. Dazwischen muss eine Steigung existieren, für die diese Differenz 0 wird.

Das ganze gilt allerdings nur falls der Stützpunkt nicht in der Mitte des Intervalls ligt. Denn dann hängt die Fläche der Gerade nicht mehr von der Steigung ab. Das führt auch zu einem neuen, interessanten Kriterium: Das Integral über das Quadrat der Differenz soll minimal werden. (Da alle Untersummen positiv sind, kann es nicht 0 werden.)
In diesem Fall kann man Integration und Differenz aber nicht mehr vertauschen.