TserverSocket und TclientSocket

[sx2008]

Du musst einfach nur die markierte Zeile einfügen.
Ausserdem solltest du innerhalb der Klasse TForm1 niemals auf Form1 referenzieren.
Lass das Form1 einfach weg.

Delphi-Quellcode:

procedure TForm1.TransferSockClientRead(Sender: TObject;
  Socket: TCustomWinSocket);
var
  Buffer: array [0..9999] of Char;
  IncommingLen, RecievedLen: integer;
begin
...
    ProgressBar.StepBy(RecievedLen);
    Application.ProcessMessages;   // <== neue Zeile
...
end;

Zusätzlich solltest du verhindern, dass wenn ein Download läuft, der Benutzer einen weiteren Download starten kann.
Dazu einfach das Property Enabled des Button auf False setzen.