[Mathe] Punktsymmetrie

[Namenloser]

Hallo, ich habe mal eine Mathe-Frage an euch.

Und zwar sitze ich hier gerade an einer Kurvendiskussion für die Funktion

f(x) = 3⋅sin(x) - 3⋅sin(x)⋅cos(x)

Nun steht in einem Aufgabenteil „Untersuche den Graph von f(x) auf Punktsymmetrie“. Ich kannte das bisher nur so, dass man die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt nachweisen soll. Wenn man sich den Graph (siehe Link) anschaut, erkennt man, dass dieser punktsymmetrisch zum allen Schnittpunkten mit der X-Achse ist (wenn ich nicht grad nen totalen Knick in der Optik habe), also P(π*n | 0) mit n ∈ ℤ.

Allerdings ist damit ja nicht formal bewiesen, dass es nicht noch weitere Symmetriepunkte gibt. Nun habe ich mich gefragt, wie man formal alle Symmetriepunkte finden kann und bin auf die Idee gekommen, dass ein solcher Symmetriepunkt nur in einem Wendepunkt liegen kann (zumindest bei einer überall differenzierbaren Funktion). Die Frage ist jetzt: Stimmt das? Mir fällt zumindest kein Fall ein, wo das nicht so ist, aber das muss ja nichts heißen.

Wenn das stimmen würde, wäre es recht komfortabel, da ich dann einfach die Wendepunkte, die ich bereits bestimmt habe, durchgehen könnte und jeweils gucken könnte, ob das Kriterium für die Punktsymmetrie erfüllt ist.

Danke im Voraus.

[MGC]

siehe mal Wikipedia:

Zitat:

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen [Bearbeiten]
Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:

\!f(a+x) - b= - f(a-x) + b

Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt (a,b) vor. Die genannte Bedingung ist durch Substitution von x mit x − a gleichwertig zu

\!f(x) = 2b - f(2a-x)

Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung (0,0) vereinfacht sich diese Gleichung zu:

\!f(-x) = -f(x)

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor, das heißt f ist eine ungerade Funktion.

Vielleicht hilfts Dir weiter...

[Namenloser]

Danke, aber das hilft mir leider nicht weiter. Wie ich die Symmetrie zu einem Punkt nachweise, weiß ich, das Problem ist, dass ich den Punkt nicht habe.

[Thom]

Punktsymmetrie liegt dann vor, wenn -f(-x)=f(x) erfüllt ist.

Code:

-f(-x)=
-(3*sin(-x)-3*sin(-x)*cos(-x))=
-(-3*sin(x)+3*sin(x)*cos(x))= [da sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x)]
3*sin(x)-3*sin(x)*cos(x)=
f(x)

[Namenloser]

Zitat von Thom:

Punktsymmetrie liegt dann vor, wenn -f(-x)=f(x) erfüllt ist.

Code:

-f(-x)=
-(3*sin(-x)-3*sin(-x)*cos(-x))=
-(-3*sin(x)+3*sin(x)*cos(x))= [da sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x)]
3*sin(x)-3*sin(x)*cos(x)=
f(x)

Das wäre Punktsymmetrie zum Ursprung (also dem Punkt (0|0)). Die Funktion kann ja aber auch zu einem anderen Punkt symmetrisch sein (und ist sie auch, siehe Graph). Die Menge dieser Punkte ist was ich suche.

[Thom]

Die Aufgabe war:

Zitat:

Untersuche den Graph von f(x) auf Punktsymmetrie

Genau das habe ich Dir vorgerechnet. Ich weiß zufälligerweise, wovon ich spreche bzw. schreibe. Das ist Stoff Sek. II Gymnasium.
Schau einfach mal im Tafelwerk nach.

Ein einfaches Danke hätte gereicht...

P.S.:
Die Funktion kann an allen Nullstellen gedreht werden. Das wäre bei k*Pi. Dementsprechend wären die Symmetriepunkte {k*Pi,0}.

[Namenloser]

Danke für das Durchexerzieren der Rechnung, aber, so leid es mir tut, ist diese leider nicht die Antwort auf meine Frage.

Deine Rechnung weist nach, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) ist, aber in der Aufgabenstellung steht nirgends was vom Ursprung. Es gibt auch Punktsymmetrien zu anderen Punkten als dem Ursprung. Nimm z.B. g(x) = (x-2)³. Diese Funktion wäre punktsymmetrisch zum Punkt (2|0). Und die Funktion aus der Eingangsfrage hat sogar unendlich Symmetriepunkte.

Zitat:

P.S.: Die Funktion kann an allen Nullstellen gedreht werden. Das wäre bei k*Pi.

Ich weiß, habe ich auch eingangs schon geschrieben. Die Frage ist, wie man formal darauf kommt. Natürlich kann man leicht nachweisen, dass die Funktion an allen Nullstellen punktsymmetrisch ist, aber damit ist ja nicht formal bewiesen, dass es nicht noch weitere Symmetriepunkte gibt.

[Thom]

Dann hast Du eine andere Mathematik als meine Schüler.
Die Untersuchung auf Punktsymmetrie innerhalb einer Kurvendiskussion beinhaltet den Nachweis, ob eine Funktion diese Eigenschaft besitzt oder nicht.
Die Frage war nicht: Bestimme alle Punkte, bei denen die Funktion f(x) punktsymmetrisch ist!

P.S.:
Doch: f(x+Pi)=-f(-x+Pi).
Kannst Du in jedes CAS eintippen und das antwortet mit true.
Du kannst ja auch die folgende Gleichung lösen:

Code:

solve(f(x+a)=-f(-x+a),a)
  sin(2*a-2*x)-2*(sin(a-x)-sin(a+x)*(cos(a+x)-1))=0

Viel Spaß...
In welcher Ausbildung befindest Du Dich? Gymnasium oder Studium?

[Medium]

Im Allgemeinen ist, wenn nicht anders angegeben, bei Punktsymmetrie in der Regel nur nach der zum Ursprung gefragt. Da würde ich also eher nochmals beim Lehrer nachfragen, ob er sich der Tatsache bewusst war, dass es bei einer periodischen Funktion eine Menge an Punktsymmetriepunkten gibt, bzw. ob er wirklich die Menge mit dieser Frage wissen will, oder doch nur die Aussage, ob punktsymmetrisch zum US oder nicht.
Wenn die Menge gefragt ist, ist der Nachweis der Periodizität unter Angabe der Menge der Nullstellen ausreichend - hier allerdings auch nur, weil pro Periode nur eine NS auftaucht. Wenn ich das aber richtig einschätze, ist wirklich nur nach dem US gefragt.

[Thom]

@Medium