[Mathe] Punktsymmetrie

[Namenloser]

Naja, in der Stunde, bevor wir diesen Übungszettel bekommen haben, ging es gerade noch mal um das Auflösen von trigonometrischen Funktionen, und explizit auch darum, dass diese mehrere Lösungen haben. Deshalb ging ich davon aus, dass hier auf jeden Fall auch mehrere Punkte gefragt sind.

@Thom: Das Problem ist halt, dass die Aufgabenstellung schwammig ist. Normalerweise kenne ich die Aufgaben auch so wie von dir beschrieben, dass man die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt, meist dem Ursprung, nachweisen soll. Wenn diese Aufgabe in einer Klausur drankäme, würde ich aus Zeitgründen natürlich auch mit dem Schaubild argumentieren, und dann für die Symmetriepunkte, die man ablesen kann, die Symmetrie noch mal rechnerisch nachweisen. Aber es muss doch auch einen sauberen Weg geben, der nicht darauf basiert, dass unser Gehirn Symmetrien in einer Darstellung erkennt

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Ich bin in der 13. Klasse und schreibe in ein paar Wochen Abitur. CAS dürfen wir in der Schule leider nicht benutzen.
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[Thom]

Aha - na dann erst mal viel Erfolg bei den Prüfungen!

Also in meinem Bundesland ist es wirklich so, daß bei der Frage nach der Punktsymmetrie die Schüler die Gleichung f(x)=-f(-x) und dementsprechend die Symmetrie zum Koordinatenursprung untersuchen müssen. Das gilt sowohl für den Grund- als auch den Leistungskurs.
Da Ihr kein CAS nutzen dürft, muß die Aufgabe schriftlich zu lösen sein. Das schließt die Ermittlung aller Symmetriepunkte von vornherein aus. Auf den Nachweis der Symmetrie gibt es meist auch nur eine BE. Wie lange willst Du dafür rechnen?

[Namenloser]

Danke!

Wenn das im Abitur käme, würde ich mich daran natürlich nicht so lange aufhalten . Aber wenn meine Theorie stimmt, dass Symmetriepunkte immer auch Wendepunkte sind, müsste man ja auch nur für zwei Punkte die Symmetrie beweisen: Den Ursprung und den Wendepunkt (pi | 0). Dass die Funktion eine Periodizität von 2pi hat, ist ja bekannt. Deshalb wollte ich halt gerne wissen, ob diese Theorie stimmt oder nicht.

[Thom]

Sollte nicht stimmen. Gegenbeispiel: f(x)=x. Ist punktsymmetrisch, besitzt aber keine Wendestelle.

[Namenloser]

Zitat von Thom:

Sollte nicht stimmen. Gegenbeispiel: f(x)=x. Ist punktsymmetrisch, besitzt aber keine Wendestelle.

Hmm, ok, stimmt. Ich rette das ganze mal zu: Für einen Symmetriepunkt muss die notwendige Bedingung einer Wendestelle erfüllt sein (2. Ableitung = 0). Das ist hier nämlich auch der Fall.

[MGC]

@Thom: Oft sieht man das Einfache nicht, obwohl es direkt auf einer Geraden vor einem liegt. Super Beispiel.

[Thom]

@MGC: Danke!

@NamenLozer: Für f(x)=x ist aber f''(x) auch 0...
Gilt übrigens auch für f(x)=0, f(x)=-x und alle anderen linearen Funktionen mit f(x)=m*x. Die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle trifft nämlich nicht zu: f''(x)=0 und f'''(x)<>0.

[Namenloser]

Zitat von Thom:

@NamenLozer: Für f(x)=x ist aber f''(x) auch 0...
Gilt übrigens auch für f(x)=0, f(x)=-x und alle anderen linearen Funktionen mit f(x)=m*x.

Korrekt, die sind ja auch alle punktsymmetrisch zu jedem Punkt auf der Geraden. Bei einer linearen Funktion gilt f''(x)=0 schließlich überall, somit passt das auch.

Zitat von Thom:

Die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle trifft nämlich nicht zu: f''(x)=0 und f'''(x)<>0.

Ja, das habe ich nach deinem Beispiel ja auch gemerkt. Deshalb habe ich in meinem letzten Post meine Theorie korrigiert und mich auf die notwendige Bedingung beschränkt.

[Thom]

Aber genau dann, wenn Du Deine Theorie auf die notwendige Bedingung für Wendestellen reduzierst, komme ich mit den linearen Funktion und widerlege sie.

Wenn Du aber die hinreichende Bedingung nimmst, sollte es auf den ersten Blick funktionieren: Symmetriestelle -> Wendestelle.
Berechnest Du jetzt alle Wendestellen einer Funktion und testest sie auf Symmetrie, gehen Dir trotzdem Symmetriestellen(-punkte) verloren - zum Beispiel bei f(x)=tan(x+Pi/2). Diese Funktion ist punktsymmetrisch (es gilt wieder f(x)=-f(-x)) - sie ist aber für x=0 gar nicht definiert. Also liegt der Symmetriepunkt nicht auf der Funktion und kann somit auch kein Wendepunkt sein.

[UliBru]

Zitat von NamenLozer:

Naja, in der Stunde, bevor wir diesen Übungszettel bekommen haben, ging es gerade noch mal um das Auflösen von trigonometrischen Funktionen, und explizit auch darum, dass diese mehrere Lösungen haben. Deshalb ging ich davon aus, dass hier auf jeden Fall auch mehrere Punkte gefragt sind.

Vermutlich gab es bei den trigonometrischen Funktionen mehrere Lösungen, aber eine endliche Anzahl davon. Bei dem Beispiel der Punktsymmetrie gibt es doch unendlich viele Lösungen für alle x. Ich denke da will kein Lehrer nun die genaue Anzahl wissen.