[Mathe] Punktsymmetrie

[Desmulator]

Ansatz:
f(a+x) - b = f(a-x)+b
Alle zu untersuchende Punkte sind P(x, f(x)), somit
f(x+x) - f(x) = f(x-x) + f(x)
f(2x) - 2f(x) = f(0)
3 sin(2x) - 3 sin(2x) cos(2x) - 6 sin(x) - 6 sin(x) cos(x) = 0
Mit sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) und cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) ergibt sich
3 * 2 sin(x) cos(x) - 3 ( 2 sin(x) cos(x) ) ( cos²(x) - sin²(x) ) - 6 sin(x) - 6 sin(x) cos(x) = 0
Zusammenfassen
-6 ( sin(x) cos(x) ) ( cos²(x) - sin²(x) ) - 6 sin(x) = 0
Klammer lösen, ausmultiplizieren, durch -6 teilen
sin(x) cos³(x) - cos(x) sin³(x) + sin(x) = 0
Ist null wenn sin(x) = 0 und das ist bei n π mit n als natürlich zahl.
Somit liegen die Symmetriepunkte bei S(n π, f(n π)).
Für alle n ist f(n π) = 0, d.h. S(n π, 0).
Also genau dort wo die vorher vermuteten Punkte liegen.

[Namenloser]

@Desmulator: Danke, so ähnlich hatte ich es auch erst versucht, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man das wirklich machen darf:

Zitat:

f(a+x) - b = f(a-x)+b
Alle zu untersuchende Punkte sind P(x, f(x)), somit
f(x+x) - f(x) = f(x-x) + f(x)

Denn eigentlich geht es ja hier um zwei verschiedene x. Einmal das x des Symmetriepunktes und einmal das allgemeine x.

@UliBru: Nein, es ging um trigonometrische Funktionen mit unendlich Lösungen der Form

            cos(x) = a
⇒      x₁ = arccos(a) + 2pi*n; n ∈ ℤ
            x₂ = −arccos(a) + 2pi*n; n ∈ ℤ

@Thom: Ok, Symmetriepunkte, die nicht auf der Funktion liegen – daran hatte ich nicht gedacht. Ok, somit wäre das geklärt, danke

Zitat:

Aber genau dann, wenn Du Deine Theorie auf die notwendige Bedingung für Wendestellen reduzierst, komme ich mit den linearen Funktion und widerlege sie.

Wie das meine These widerlegt, sehe ich allerdings immer noch nicht, aber ist ja jetzt auch irrelevant.

Ich habe übrigens heute noch mal nachgefragt, und anscheinend reicht es, die Symmetriepunkte an der Zeichnung abzulesen und dort die Symmetrie nachzuweisen.

[Thom]

Da stimme ich Deinem Lehrer zu. So erkläre ich es auch immer: Zuerst die Funktion in den Taschenrechner eingeben, anzeigen lassen (falls er grafikfähig ist), dann überlegen, welche Symmetrie zutreffen könnte und anschließend per Rechnung überprüfen.

[Namenloser]

Zitat von Thom:

Zuerst die Funktion in den Taschenrechner eingeben, anzeigen lassen (falls er grafikfähig ist)

Sowas ist leider zu modern für unsere Schule

[Thom]

Oh je...
Da nehme ich doch lieber einen Nspire CX CAS.

[MGC]

Endlich habe ich einen Lehrer gefunden der die Zusammenhänge zwischen Mathematik und Realität in den Fordergrund stellt. Das hätte mir zu Schulzeiten nicht nur einiges erleichtert (konnte mit Physik, Informatik und Chemie immer mehr anfangen, da ich in diesen Fällen meine Berechnungen anhand der Realität besser nachvollziehen konnte), sondern auch ehrlich gesagt mehr Freude am Lernen bereitet.

Schade, hab mein Abi bereits in '95 gemacht.