Drachenkurve - woher kommt dieses Phänomen?

[implementation]

Hallo liebe Forengenossen,

ich habe mir ein kleines Progrämmchen geschrieben, das eine Drachenkurve zeichnet. Nun habe ich ein bisschen mit der Colorierung rumgespielt, und dabei ist mir etwas seltsames aufgefallen.
Meine Colorierung teilt die Kurve in 15 Teile (nach Reihenfolge der einzelnen Strecken, nicht des Endbildes), in denen jeweils ein Farbverlauf von Rot zu Gelb zu sehen ist - demnach erkennt man einen Abschnittswechsel am abrupten Sprung von Gelb auf Rot.

Hier mal eine Kurve der Stufe 21:

Nun, seht selbst. Ich habe die Auffälligkeiten mit weißen Pfeilen markiert. Man könnte sagen: Zufall! Aber das Phänomen passiert auch bei beliebigen anderen Stufen. Im Anhang ist nochmal ein Bild einer 17er-, einer 18er- und einer 19er-Kurve.

Der Code zur Colorierung:
8: glColor3f(1,(pointsdrawn mod (pointstodraw div 15))/(pointstodraw div 15),0); Pointsdrawn ist die Anzahl der bereits gemalten und PointToDraw die der insgesamt zu malenden Winkel.

Der komplette Quellcode ist im Anhang (falls es jemand selbst austesten will).

Kann mir jemand sagen, woher das kommt?

[Medium]

Hübsch, und genau meine Welt!
Ich vermute, du hast dort einfach einen Sweet-Spot getroffen. Wie in der Welt der Fraktale nicht unüblich, kann ich mir gut vorstellen, dass eine mathematisch schlüssige Begründung bzw. Beweisführung beliebig kompliziert ausfallen könnte, und ggf. am Ende sogar nur zeigt, dass du einen Spezialfall einer ganzen Gruppe ähnlich gearteter Lösungen getroffen hast. Muss ich morgen aber auch mal genauer schauen, weil Interesse geweckt, aber viel zu müde für mehr

[implementation]

Zitat von Medium:

Ich vermute, du hast dort einfach einen Sweet-Spot getroffen.

Nett, was heißt das genauer?

Zitat:

Wie in der Welt der Fraktale nicht unüblich, kann ich mir gut vorstellen, dass eine mathematisch schlüssige Begründung bzw. Beweisführung beliebig kompliziert ausfallen könnte,

Eine grobe Erklärung würde mir ja schon reichen

Zitat:

und ggf. am Ende sogar nur zeigt, dass du einen Spezialfall einer ganzen Gruppe ähnlich gearteter Lösungen getroffen hast.

Na zumindest bei allen Vielfachen von 15 wird das wohl immer passen

[EWeiss]

Habe jetzt nicht DIE ahnung von höherer Mathematik
Soll das jetzt so aussehen wie auf diesem Bild?

Drachenkurve

Kann mir dann nur vorstellen das ein berechnungsfehler bei der faltung vorliegt.
Müßte also ein Verlauf von Rot nach Rot zu sehen sein!

Zitat: Von 'http://de.wikipedia.org/wiki/Drachenkurve'

Zitat:

Zum Schluss falte man das Papier auseinander und ordne so an, dass die Innenwinkel der Falze immer 90° betragen

Vollständige Link
Drachencurve

Zitat:

The dragon curve drawn using an L-system.
variables : X Y
constants : F + −
start : FX
rules : (X → X+YF), (Y → FX-Y)
angle : 90°
Here, F means "draw forward", - means "turn left 90°", and + means "turn right 90°". X and Y do not correspond to any drawing action and are only used to control the evolution of the curve.

gruss

[Medium]

Ein Versuch:

Schaut man sich die L-System Tokens in dem Wikipedia Artikel an:

Code:

0. Ordnung: ε (leerer String)
1. Ordnung: R
2. Ordnung: RRL
3. Ordnung: RRLRRLL
4. Ordnung: RRLRRLLRRRLLRLL
5. Ordnung: RRLRRLLRRRLLRLLRRRLRRLLLRRLLRLL

fällt auf, dass bei Ordnung 4 genau 15 Token stehen. Zusammen mit den Bildern in dem Artikel sieht man noch, dass bei dieser Ordnung die erste Selbstberührung der Kurve passiert, und der erste Ansatz einer "größeren selbstähnlichen Struktur" entsteht.(*) Der Faktor bzw. die Periode 15 ist also zumindest schon mal in einer Form wiederfindbar, theoretisch sollten sich aber auch bei Perioden von 1, 3, 7, 31, usw. (2^Ordnung-1) ähnlich "scharfe" Übergänge an diesen Engstellen erzeugen lassen. (Das meinte ich mit einer ganzen Klasse von Lösungen )
Je kleiner du die Periode aus diesen wählst, desto mehr scharfe Farbwechsel wirst du bis in die "Spitzen" der Kurve haben, aber natürlich auch mehr Unruhe in den "Inseln" selbst.

Alles in allem ist meine Kernaussage hier wohl 2^O-1

Edit: *) Hat an sich letztlich wohl keine große Relevanz, aber ich habe mir das grad beim Schreiben hier ausgedacht. Ich lass das mal als Denkmusterdokumentation stehen =)

[implementation]

Zitat von Medium:

fällt auf, dass bei Ordnung 4 genau 15 Token stehen. Zusammen mit den Bildern in dem Artikel sieht man noch, dass bei dieser Ordnung die erste Selbstberührung der Kurve passiert, und der erste Ansatz einer "größeren selbstähnlichen Struktur" entsteht.

Ah, das klingt für mich logisch. Dankeschön

[EWeiss]

Zitat:

Ah, das klingt für mich logisch. Dankeschön

Dann war mein Ansatz wohl Schwachsinn?

Für mich sah das so aus als wenn die Faltung nicht stimmt..
Na egal

gruss

[Medium]

Bei L-Systemen wird nichts gefaltet.

[EWeiss]

Zitat von Medium:

Bei L-Systemen wird nichts gefaltet.

Ahh so.. Hmmm
Was sagt mir dann diese Quote?

Zitat:

Here, F means "draw forward", - means "turn left 90°", and + means "turn right 90°". X and Y do not correspond to any drawing action and are only used to control the evolution of the curve.

Sieht mir schon nach Falttechnik aus.

Aber gut ICH glaube dir.

gruss

[Medium]

Ich war Gedanklich bei Faltung, nicht Faltung
Da die Form aber doch gut passt beim TE, glaube ich da doch näher an einer möglichen Erklärung zu sein - hoffe ich zumindest, immerhin war da gestern schon das eine oder andere Gläschen Wein beteiligt =)