Mathe - LDGL

[Flips]

Hi und frohe Ostern!

Leider muss ich die Osterzeit damit verbringen, einige Aufgaben zu knacken.
Unter anderem auch eine, bei der eine LDGL zu lösen ist. Was eigentlich noch der einfache Teil bei dieser Aufgabe ist.
Aber ich steh total auf dem Schlauch. Folgende Gleichung:
WolframAlpha

Wenn ich diese über nen Exponential-Ansatz (h(x)=a*exp(w*x)) löse, dann kommt bei mir was total tolles raus,
nämlich h(x)=2*A*cos(sqrt(a/b)*x) (Oder so ähnlich, auf jeden Fall ne Cosinus-Funktion).
Allerdings ist eine der Randbedingungen h(0)=0. Und das geht hier ja voll nach hinten los!
Die Lösung von WA ist natürlich um Längen besser, da eliminiert mir die Randbedingung den Cosinus und zurück bleibt der Sinus, der auch auf jeden Fall richtig ist!
Also wie kommt WA auf diese Lösung? Rein theoretisch kann es bei mir ja NUR am Ansatz liegen.

Lg, Flips

[jfheins]

Naja, deine Gleichung hat die grundlegende Form

Zitat:

a h(x)+b h''(x) = 0

Dein Ansatz ist schon richtig. Wenn die Nullstellen konjugiert komplex sind, bekommst du eine Summe aus Sinus und Kosinus. Wenn du das vorher weist, dann kannst du auch direkt sin+cos hernehmen - dann ersparst du dir die komplexen Teile der Rechnung

Wenn sich bei dir der Sinusterm eliminiert hast du irgendwas falsch gemacht - bedenke dass deine Konstanten zwischendurch auch komplex werden dürfen. Nur am Ende sollte wieder etwas reelles stehen.

[Flips]

Ja die Nullstellen sind komplex konjugiert.
Wenn ich mir mein w im Argument der Exponentialfunktion nun als u+i*v darstelle (also einfach als ne komplexe Zahl) und das weiter ausführe, dann komme ich am Ende doch auf meine Sinus-Funktion, allerdings mit einer komplexen Amplitude...
Und in unserem Skript wird das einfach IGNORIERT. Da bekommt diese komplexe Amplitude plötzlich nen neuen Buchstaben und das wars...Naja ich warte mal die Lösung ab und poste die dann mal der Vollständigkeit halber hier.

[jfheins]

Also mein Skript (DGL'n für Ing. - also nicht streng mathematisch korrekt) behandelt das so:

Einfache Komplexe Nullstelle der char. Gleichung: α + iβ
Zugehörige Funktion: exp(α*x)*cos(β*x) + exp(α*x)*sin(β*x)

Wenn du die Herleitung willst, könnte ich nochmal mein Vorlesungsskript rauskramen. Man kannte irgendwie die (neuen) Konstanten so wählen, dass bei der Superposition einmal nur die Sinusterme übrig bleibt und einmal nur der Kosinusterm.