Der vierte Parameter (der, in dem die
URL stehen muss

), ist vom Typ PChar. Die Eigenschaft Text eines TEdist ist vom Typ String. Um einen String in einen PChar umzuwandeln, benutzt man folgenden Aufruf:
PChar(Edit1.Text));
Folglich sieht das bei dir dann so aus:
ShellExecute(Handle,'C:\Programme\Internet Explorer\IExplore.exe',PChar(Edit1.Text),nil,SW_SHOW);
[EDIT]Wow, gleich drei auf einmal

[/EDIT]