[Mathe] Ein definitiver Denkfehler den ich nicht Finde.

[Teekeks]

Hallo,
Ich habe heute Probeabi Mathe geschrieben und bin dabei an einer Aufgabe verzweifelt:

Zitat:

Die Punkte A(4|1|2), B(3|0|6) und C(11|8|10) sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeigen Sie, dass dieses Dreieck einen rechten Winkel ABC hat und berechnen Sie die Größe des Winkels BCA.

(geht noch weiter, aber der Teil ist nur wichtig jetzt).

Die Formel zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels Zweier Vektoren ist ja:

Code:

cos(alpha)= (Vektor(a)*Vektor(b))/ (|Vektor(a)| * |Vektor(b)|)

Wobei Vektor(a)= OA-OB und Vektor(b)=OA-OC ist.
(OA-OB)*(OA-OC) ist 0.
Der Cos von 0 ist 90° → Erster Teil geschafft.

Jetzt das ganze noch einmal für Vektor(a)=OB-OA und Vektor(b)=OB-OC.
Jetzt komme ich jedoch wieder auf 0 was ja bedeuten würde dass dieses Dreieck 2 90°-Winkel hätte was unter diesen Voraussetzungen (die beiden Eckpunkte sind nicht Identisch) nicht geht.

Jetzt ist meine Frage: wo habe ich falsch Gedacht?

Gruß Teekeks

[Uwe Raabe]

Der Schritt von A(), B(), C() nach OA, OB und OC ist nicht erklärt.

Wenn ich das aber richtig verstehe, müsste es im zweiten Teil nicht (OB - OC)*(OA - OC) heißen? Dann sollte im ersten Teil aber auch (OA - OB)*(OC - OB) sein. Verwirrung...

[Teekeks]

OA, OB und OC sind jeweils nur die Vektoren vom Koordinaten-Ursprung zum jeweiligen Punkt.
Hieße also Korrekter weise Vektor(OA) usw.

[Uwe Raabe]

OK, dann kann man aber auch gleich A, B und C schreiben, da der Ursprung ja eigentlich bei (0, 0, 0) liegen sollte.

Ist dann der Winkel ABC als der Winkel definiert, der im Punkt B liegt und durch die Vektoren B->A und B->C aufgespannt wird? Dann ist der Zähler der Formel im ersten Fall also

(4-3)*(11-3) + (1-0)*(8-0) + (2-6)*(10-6) = 1*8 + 1*8 + (-4)*4 = 0

Folglich wäre der Zähler im zweiten Fall:

(3-11)*(4-11) + (0-8)*(1-8) + (6-10)*(2-10) = (-8)*(-7) + (-8)*(-7) + (-4)*(-8) = 56 + 56 + 32 <> 0

[Teekeks]

Ah!
Danke, jetzt sehe ich den Fehler:
Ich ging davon aus dass bei ABC der Ursprung in A liegt.
Also hatte ich mich a) Verrechnet und b) in der Bezeichnung des Winkels geirrt

Ich hasse solche Fehler

Aber trotzdem noch einmal Danke!

[Prototypjack]

Moin,

Kann sein, dass es noch zu früh ist, und / oder ich mich jetzt gleich zum Idioten mache (Geometrie ist auch schon wieder 'ne Weile her ), aber:
Soweit ich das verstehe, haben wir hier ein Dreieck. Von dessen drei Winkeln kennen wir einen (alpha) = 90°. Ausgehend davon, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck immer 180° sein muss, so kann ich mir doch überlegen, dass die anderen beiden Winkel beide 45° betragen müssen, oder nicht?

Grüße

[mleyen]

Muss doch nicht 45° sein. Es stand ja nirgends, dass es auch ein gleichschenkliges Dreieck ist. (bzw ich kanns nicht auf anhieb aus den geg. Koordinaten erkennen )

[jfheins]

Zitat von mleyen:

Muss doch nicht 45° sein. Es stand ja nirgends, dass es auch ein gleichschenkliges Dreieck ist. (bzw ich kanns nicht auf anhieb aus den geg. Koordinaten erkennen )

Guckst du bei Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i...11%2C8%2C10%7D

[Prototypjack]

Oh, war wohl doch noch zu früh .

Grüße