Mathematik - Term faktorisieren

[Romiox]

Hallo zusammen,

falls irgendjemand Lust hat sich am Sonntag mit Mathe zu beschäftigen (Read: mir zu erklären );
ich habe folgende Funktion und soll die Nullstellen bestimmen:

f(x)=x^4-4x^3-5x^2-4x+4

Also: Ich weiss, das man das faktorisieren muss und eine Polynomdivision bekomm ich auch selbst hin.
Mir ist bloß der Ansatz abhanden gekommen, vielleicht kann da ja wer nachhelfen..

[BUG]

1 bis 2 Nullstellen wirst du wohl raten müssen,

[Aphton]

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

[Muellermilchtrinker]

auf der bruenner seite gibts auch ein script um die polynomdivision zu machen.

da wir das grad in mathe gemacht haben könnt ich es zwar machen hab aber grad kein bock

[Namenloser]

Für die Polynomdivision brauchst du aber wenigstens eine Nullstelle.

[Romiox]

Zitat von Aphton:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Danke, ist mir aber bekannt und hilft jetzt nicht so unbedingt beim schnellen verstehen

Zitat von Muellermilchtrinker:

auf der bruenner seite gibts auch ein script um die polynomdivision zu machen.

da wir das grad in mathe gemacht haben könnt ich es zwar machen hab aber grad kein bock

Jo, danke. aber wie gesagt, die Polynomdivsion bekomm ich dann auch hin ^^

Zitat von BUG:

1 bis 2 Nullstellen wirst du wohl raten müssen,

This! Da gabs doch auch nen Ansatz für, oder? Bei höchstem Exponent 4 braucht man nur alle Zahlen von -16 bis +16 testen oder wie war das?

[Muellermilchtrinker]

Die Nullstelle muss ein Teiler des Absolutglieds sein. Also die Zahl hinten, die alleine steht.

[Romiox]

Zitat von Muellermilchtrinker:

Die Nullstelle muss ein Teiler des Absolutglieds sein. Also die Zahl hinten, die alleine steht.

Das wars, vielen Dank!

Edit:

Ne, das wars nicht. Also der Tipp schon, der ist top, aber mal flux angewandt auf die Gleichung der Ausgangsfrage: f(x)=x^4-4x^3-5x^2-4x+4

1^4-4*1^3-5*1^2-4*1+4 = -8
2^4-4*2^3-5*2^2-4*2+4 = -40
4^4-4*4^3-5*4^2-4*4+4 = -92
f(-1) = 8
f(-2) = 40
f(-4) = 452

Und nu? :/

[Aphton]

Zitat von Romiox:

Zitat von Aphton:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Danke, ist mir aber bekannt und hilft jetzt nicht so unbedingt beim schnellen verstehen

Zitat von Muellermilchtrinker:

auf der bruenner seite gibts auch ein script um die polynomdivision zu machen.

da wir das grad in mathe gemacht haben könnt ich es zwar machen hab aber grad kein bock

Jo, danke. aber wie gesagt, die Polynomdivsion bekomm ich dann auch hin ^^

Zitat von BUG:

1 bis 2 Nullstellen wirst du wohl raten müssen,

This! Da gabs doch auch nen Ansatz für, oder? Bei höchstem Exponent 4 braucht man nur alle Zahlen von -16 bis +16 testen oder wie war das?

Was hilft dir das beim Verstehen nicht?
Lies dir doch einfach die Erläuterung durch und frag gegebenfalls!

Code:

Lösen der biquadratischen Gleichung   x^4 - 4x³ - 5x² - 4x + 4 = 0 
—————————————————————————————————————————————————————————————————————

Die Gleichung liegt bereits in der Normalform x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 vor. 

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form 
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist. 

  (y  +  1)^4 - 4(y  +  1)³ - 5(y  +  1)² - 4(y  +  1) + 4 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

   p = b - 3a²/8 = -11
   q = a³/8-ab/2+c = -22
   r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = -8

  y^4 - 11y² - 22y - 8  = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0 
gelöst werden. 

   z³ + 22z² + 153z + 484  = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung. 

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————


Lösen der kubischen Gleichung    x³ + 22x² + 153x + 484 = 0 
————————————————————————————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor. 

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form 
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt. 

   (y - 7,333333333333333)³ + 22(y - 7,333333333333333)² + 153(y - 7,333333333333333) + 484 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

   p = s - r²/3 = -8,333333333333343
   q = 2r³/27 - rs/3 + t = 150,74074074074076

   y³ - 8,333333333333343y + 150,74074074074076  = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

   p = -8,333333333333343            q = 150,74074074074076

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden. 

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen, 
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen, 
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen. 

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen. 

Im Falle dieser Gleichung ist R = 5659,259259259261. 

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


   T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 75,22804835471449

   u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -0,5221044105133009

   v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -5,320349190398184

   y  = u + v = -5,842453600911485
    1
   y  = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 2,9212268004557425 - 4,15540187295638·î
    2
   y  = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 2,9212268004557425 + 4,15540187295638·î
    3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht. 
r=22 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung. 
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

   x  = -13,175786934244819
    1
   x  = -4,412106532877588 - 4,155401872956378·î
    2
   x  = -4,412106532877588 + 4,155401872956378·î
    3

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung. 

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der 
kubischen Resolvente:

   z  = -13,175786934244819
    1
   z  = -4,412106532877588 - 4,155401872956378·î
    2
   z  = -4,412106532877588 + 4,155401872956378·î
    3

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 484. 
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

   y  = ( sqr(-z ) + sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
    1           1          2          3
   y  = ( sqr(-z ) - sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
    2           1          2          3
   y  = (-sqr(-z ) + sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
    3           1          2          3
   y  = (-sqr(-z ) - sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
    4           1          2          3

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 22 ist. 

   Die Wurzeln

   sqr(13,175786934244819) = -3,629846681919888
   sqr(4,412106532877588 + 4,155401872956378·î) = 2,28833657734072 + 0,9079525088449573·î
   sqr(4,412106532877588 - 4,155401872956378·î) = -2,28833657734072 + 0,9079525088449573·î

   erfüllen diese Bedingung. 

Damit ergeben sich folgende Werte für y

   y  = -1,8149233409599441 + 0,9079525088449572·î
    1
   y  = -1,8149233409599441 - 0,9079525088449572·î
    2
   y  = 4,1032599183006635
    3
   y  = -0,47341323638077604
    4

und nach Subtraktion von a/4 ( = -1 ) die Lösungen der gegebenen 
biquadratischen Gleichung:

   x  = -0,814923340959944 + 0,9079525088449572·î
    1
   x  = -0,814923340959944 - 0,9079525088449572·î
    2
   x  = 5,1032599183006635
    3
   x  = 0,526586763619224
    4

[jfheins]

Ich vermute mal, es führt kein Weg an der allgemeinen Lösungsformel vorbei (die es beim Grad 4 zum Glück noch gibt) ...

Zitat:

x = 17669319/33554432 = 0.52658676361922
x = 0.90795250884496 * i - 0.81492334095994
x = -0.90795250884496 * i - 0.81492334095994
x = 171236987/33554432 = 5.103259918300664