Unendlich <> Unendlich!

[gammatester]

Zitat von JasonDX:

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation, und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht:

1/2 ist keine Zahl, -1 ist keine Zahl, i=sqrt(-1) ist keine Zahl, ∞ ist keine Zahl usw. Auch hier sind manche Operation in der alten, nicht erweiterten Menge nicht möglich.

Selbst unsere FPUs kennen unendlich (geanuer sogar zwei mit Vorzeichen) und können damit rechnen, zB 1/0 = ∞, (-1/0) = ∞ etc. Und anders als

Zitat von Medium:

(FPUs liefern beim Vergleich zweier "Unendlich" typischerweise auch "false".)

behauptet liefern sie auch das richtige Ergebnis: ∞=∞ und (-∞)=(-∞) (vielleicht er aber auch ∞ mit -∞ verglichen).

[jfheins]

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation, und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht:

1/2 ist keine Zahl, -1 ist keine Zahl, i=sqrt(-1) ist keine Zahl, ∞ ist keine Zahl usw. Auch hier sind manche Operation in der alten, nicht erweiterten Menge nicht möglich.

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Auch ein "Integral von -∞ bis +∞ f(x) dx" meint eigentlich: "Limes z->∞ von Integral von -z bis +z f(x) dx"

[gammatester]

Zitat von jfheins:

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Widersprüche? Was für Widersprüche? Und weshalb ist folgende Argumentation prinzipiell anders?

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

[Neutral General]

Zitat von gammatester:

Zitat von jfheins:

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Widersprüche? Was für Widersprüche? Und weshalb ist folgende Argumentation prinzipiell anders?

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

Nein. 0=0 und eine Division durch 0 ist nicht möglich. Man kommt also überhaupt nicht auf 4=3.

[gammatester]

Ich habe nicht behauptet, daß ∞ eine reelle Zahl ist oder eine rationale. Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {-∞, ∞} widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann (siehe zB Weitere Operationen mit ∞). Einige Operation sind nicht erlaubt (zB ∞-∞), wie auch auf R einige Operationen nicht erlaubt sind (zB a/0 oder (-1)^(1/2)).

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {∞ , ∞ } widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann

Man kann die Menge erweitern, aber wenn du von Operationserweiterungen sprichst, betrifft das den Körper über R. Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

(Hint: Dein Wikipedia-Artikel sagt dir schon: ∞ - ∞ = undefiniert; Somit wirst du bzgl der Addition kein inverses Element finden. Auch bei der Multiplikation wirst du dich schwer tun. Deine vorgeschlagene Erweiterung macht also wenig Sinn )

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat von JasonDX:

Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

Ist mir neu, daß (R,*) eine abelsche Gruppe ist. Wie lautet denn das (multiplikative) Inverse von 0?

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation

Nein. Ich stelle eine Behauptung auf: ∞ ist kein Element einer Menge eines Körpers, auf den die von mir oben genannten Operationen und Eigenschaften definiert sind; Und verwende diese Behauptung um zu begründen, warum die von Win32.Api verwendeten Rechengesetze auf ∞ nicht anwendbar sind. Das ist ein sequentielles Argument.
Du darfst meiner Annahme aber gerne widersprechen und einen Körper geben, dessen Menge die Mächtigkeiten der natürlichen und reellen Zahlen enthält

Zitat von gammatester:

und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht

Keineswegs. Man muss aber auch nicht für jede widersprüchliche und sinnfreie Erweiterung offen sein. Es macht bspw. absolut keinen Sinn, die natürlichen Zahlen um ∞ zu erweitern - damit wäre PA inkonsistent, was das ganze von jeglichem Sinn befreit.
Und es gibt ja eine (sinnvolle) Erweiterung, welche die Mächtigkeiten von unendlichen Mengen umfasst, und das sind die Kardinalzahlen.

Zitat von gammatester:

Selbst unsere FPUs kennen unendlich (geanuer sogar zwei mit Vorzeichen) und können damit rechnen

Wenn du eine FPU als Argument hernehmen willst, kann ich damit auch behaupten, dass es nur endlich viele Zahlen gibt, 1=0.999838467287, und bspw. Grahams Zahl ist eine ungültige Illusion. Wir sprechen hier von theoretischen Konzepten und berufen uns auf Definitionen, nicht mehr und nicht weniger.

Zitat von gammatester:

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

Hm, hier sieht man warum man sich an theoretische Definitionen halten sollte. Es gibt kein Inverses Element von 0 bzgl. der Multiplikation. Der Körper über die rationalen/reellen Zahlen ist entsprechend definiert. Trotzdem gehst du von der Existenz eines solchen aus und "beweist" damit einen Widerspruch. Entsprechend zu PBC hast du damit lediglich bewiesen, dass deine Annahme (nämlich dass es ein Inverses Element für 0 bzgl. der Multiplikation gebe) falsch ist - was wir schon vorher wussten

greetz
Mike