IMHO gibt es dafür kein (bekanntes)
Win32 API sondern ist nur für UWP-Apps zugänglich. Wenig verwunderlich, weil es wegen der Cloud-Anbindung ein ziemliches Sicherheitsrisiko ist. In den meisten verwalteten Windows-Netzen gehört das zu den Dingen, die der Admin per Policy abdreht.
Jedoch was hindert dich, mit deinem Programm einen lokalen Clipboard-Viewer zu registrieren? Siehe
SetClipboardViewer.