Schnitt von Gerade und Fkt. 3. Grades im R2

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Eigentlich bin ich ja relativ Sattelfest in solchen Dingen, aber ich wurschtel mich hier gerade selbst ein.

Ich habe eine Gerade in Vektorform (A+t*B) und ein Catmull-Rom-Spline, welches auf seinen einzelnen Abschnitten einfach eine Funktion 3. Grades ist (a*t³+b*t²+c*t+d). Der Knackpunkt ist, dass alles im R2 passiert, also auch die a, b, c und d's in der Funktion haben 2 Koordinaten.

Ich versuche nun einfach die 1-3 Schnittpunkte der Geraden und eines solchen Spline-Segmentes zu finden, und zwar so schnell wie möglich (also in Laufzeit). Ich hab mich beim Herleiten aber dermaßen verrannt, dass ich nicht mehr Kaffee von Kippen unterscheiden kann. "Irgendwie Gleichungssystem" ist im Moment alles was meine Neuronen noch her geben .

Hat da grad jemand eine Kiste parat?