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Fourier Transform DFT, FFT

Ein Tutorial von Dipl Phys Ernst Winter · begonnen am 16. Mai 2009 · letzter Beitrag vom 20. Okt 2009
 
Dipl Phys Ernst Winter

Registriert seit: 14. Apr 2009
Ort: Jena
103 Beiträge
 
Delphi 3 Professional
 
#1

Fourier Transform DFT, FFT

  Alt 16. Mai 2009, 16:58
Diskrete Fourier Transformation DFT
Eine periodische Funktion der normierten Periode 2Pi sei mit n = 2q äquidistanten Stützstellen f(xi) i = 0..n-1 im Intervall 0..2Pi gegeben. Stützstellenabstand dx = 2Pi/n, x0 = 0, xn-1 = 2Pi - dx.
Delphi-Quellcode:
Wir interpolieren sie mit:
            q - 1
f(x) = a0 + Summe (ai*cos(mx) + bi*sin(mx)) + aq*cos(qx)
             m =1
wobei wir b(q) = 0 setzen, um die Zahl der Parameter an die Zahl der Stützstellen anzupassen.
Brechen wir die Summe mit weniger Gliedern ab, so erhalten wir eine Approximation mit minimalem quadratischen Fehler. Für die n + 1 Koeffizienten ergibt sich

         n - 1
a0 = 1/n Summe yk
         k = 0

         n - 1
ai = 2/n Summe yk*cos(i*xk)         i = 1, 2,..., q-1
         k = 0

         n - 1
bi = 2/n Summe yk*sin(i*xk)         i = 1, 2,..., q-1
         k = 0

         n - 1
aq = 1/n Summe yk*cos(q*xk)         
         k = 0
FFT Fast Fourier Transform
Die Rechenzeiten der DFT wachsen mit Stützstellenzahl N quadratisch an: t ~ N^2. Es wurden verschiedene Verfahren zur schnellen Fourier-Transformation FFT entwickelt, deren die Rechenzeit nur mit t ~ Ln(N)*N anwächst.
Sie beruhen alle auf der sukzessiven Zerlegung einer Transformation mit n Stützstellen in zwei Transformationen mit n/2 Stützstellen.

Das Demo zur DFT zeigt den Aufbau der Näherungen aus den Oberwellen graphisch an.

FFT-Demo1 demonstriert den Zeitgewinn der FFT gegenüber der DFT. Vorsicht: Die DFT kann bei großem nMax sehr lange dauern. Es enthält eine Implementation der FFT nach dem Tukey-Algorithmus.

Das Demo2 zur FFT enthält eine Implementation der FFT die reelle Werte wahlweise in der Frequenzbereich bzw. von dort wieder zurück in die Zeitdarstellung transformatiert.
Angehängte Dateien
Dateityp: zip fft_demo2_143.zip (149,8 KB, 321x aufgerufen)
Dateityp: zip fft_demo1_393.zip (160,2 KB, 232x aufgerufen)
Dateityp: zip dft_demo_982.zip (167,9 KB, 231x aufgerufen)
Autor: DP Ernst Winter
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